验证：如，能被4整除，请把3与1的积写成两个正整数的平方差；
探究：设“发现”中两个正整数分别为m，n，请论证“发现”中的结论正确．
解：设 ﹣
＝m，与原方程相乘得：
（ ＋
）×（
）＝5m，
x﹣2﹣（x﹣7）＝5m，解之得m＝1，
∴ ﹣
＝1，与原方程相加得：
（ ＋
）+（
）＝5＋1，
2 ＝6，解之得，x＝11，经检验，x＝11是原方程的根.
学习借鉴解法，解方程 ﹣
＝1.
表示2的点与表示的点重合；
；
；
；
归纳猜想：若多项式是完全平方式，猜想：系数a，b，c之间存在的关系式为．
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：．
如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：．
观察以下各式：
（x﹣y）（x+y）＝x2﹣y2 ．
（x﹣y）（x2+xy+y2）＝x3﹣y3 ．
（x﹣y）（x3+x2y+xy2+y3）＝x4﹣y4 ．
（x﹣y）（x4+x3y+x2y2+xy3+y4）＝x5﹣y5 ．
请回答以下问题：
=；
（a—b）（）=（）（用含a、b的字母表示）；
下面是小丽的探究过程，请补充完整：
特例1：
特：2：
特：3：
特例4：．（填写一个符合上述运算特征的例子）；
如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：；
①
②
如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依次类推．
各边长都是整数，最大边长为31的三角形有多少个？
问题建模：为解决上面的数学问题，我们先研究下面的数学模型。
在1～n这n个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于n，有多少种不同的取法？
为了找到解决问题的方法，我们把上面数学模型简单化．
探究一：
在1～4这4个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于4，有多少种不同的取法？
第一步：在1～4这4个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于4，根据题意，有下列取法：1+4，2+3，2+4，3+2，3+4，4+1，4+2，4+3；而1+4与4+1，2+3与3+2，…是同一种取法，所有上述每一种取法都重复过一次，因此共有种不同的取法．
第二步：在1～4这4个自然数中，每次取两个相同的数，使得所取的两个数之和大于4，有下列取法：3+3，4+4，因此有2种不同的取法．
综上所述，在1～4这4个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于4，有种不同的取法．
探究二：
在1～5这5个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于5，有多少种不同的取法？
第一步：在1～5这5个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于5，根据题意，有下列取法：1+5，2+4，2+5，3+4，3+5，4+2，4+3，4+5，5+1，5+2，5+3，5+4；而1+5与5+1，2+4与4+2，…是同一种取法，所有上述每一种取法都重复过一次，因此共有种不同的取法．
第二步：在1～5这5个自然数中，每次取两个相同的数，使得所取的两个数之和大于5，有下列取法：3+3，4+4，5+5因此有3种不同的取法．
综上所述，在1～5这5个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于5，有种不同的取法．
探究三：
在1～6这6个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于6，有多少种不同的取法？（仿照探究二写出探究过程）
探究四：
在1～7这7个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于7，有 ▲ 种不同的取法．
探究五：
在1～n（n为偶数）这n个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于n，有 ▲ 种不同的取法．
探究六：
在1～n（n为奇数）这n个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于n，有 ▲ 种不同的取法．
问题解决：
①各边长都是整数，最大边长为20的三角形有 ▲ 个；
②各边长都是整数，最大边长为31的三角形有 ▲ 个．
