备考2024年中考数学探究性训练专题13 一次函数

更新时间：2024-03-24 浏览次数：14 类型：二轮复习

一、选择题

1. (2021·安顺) 小星在“趣味数学”社团活动中探究了直线交点个数的问题.现有7条不同的直线 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，则他探究这7条直线的交点个数最多是（）

A . 17个 B . 18个 C . 19个 D . 21个

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二、填空题

2. (2022九上·长沙开学考) 如图，已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ 试探究：直线与线段 $\text{[math]}$ 有交点时 $\text{[math]}$ 的变化情况，猜想 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

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3. (2019·桥西模拟) 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝x ，作A₁（1，0）关于y＝x的对称点B₁ ，将点B₁向右水平平移2个单位得到点A₂；再作A₂关于y＝x的对称点B₂ ，将点B₂向右水平平移2个单位得到点A₃；…．请继续操作并探究：点A₃的坐标是，点B₂₀₁₄的坐标是．

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4. (2023八上·包河期中) 已知合肥到芜湖的距离为 $\text{[math]}$ 千米，现有一辆邮政车往返两城市之间，该邮政车每次到达合肥或芜湖后，均需停留 $\text{[math]}$ 小时再重新出发．暑假期间，合肥某旅游公司计划在同线路上加开一辆旅游大巴车，在试运行期间，该邮政车与旅游大巴车同时从合肥出发，两辆车均保持匀速行驶，经过 $\text{[math]}$ 小时两车第一次相遇．两车之间的距离 $\text{[math]}$ 千米与行驶时间 $\text{[math]}$ 小时之间的部分函数关系如图所示．已知行驶过程时，邮政车的速度大于旅游大巴车的速度，请完成以下探究：
1. （1）邮政车的速度为千米 $\text{[math]}$ 小时；
2. （2）当两车第一次在行驶的路上相遇时，相遇点到合肥的距离为千米．
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5. 图象法是函数的表示方法之一，下面我们就一类特殊的函数图象展开探究.

$\text{[math]}$
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…

$\text{[math]}$
…
6
4
2
0
2
4
6
…
画函数 $\text{[math]}$ 的图象，经历列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示：
探究发现：函数 $\text{[math]}$ 的图象是由 $\text{[math]}$ 向右平移2个单位得到；
函数 $\text{[math]}$ 的图象是由 $\text{[math]}$ 向上平移3个单位得到.
1. （1）函数 $\text{[math]}$ 的最小值为；
2. （2）函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 中有最小值4，则 $\text{[math]}$ 的值是.
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三、理论探究题

6. (2023八上·高州月考) 定义：我们把一次函数 $\text{[math]}$ 与正比例函数 $\text{[math]}$ 的交点称为一次函数 $\text{[math]}$ 的“不动点”．例如求 $\text{[math]}$ 的“不动点”；联立方程 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的“不动点”为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）由定义可知，求一次函数 $\text{[math]}$ 的“不动点”．
2. （2）若一次函数 $\text{[math]}$ 的“不动点”为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
3. （3）若直线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，且直线 $\text{[math]}$ 上没有“不动点”，若 $\text{[math]}$ 点为 $\text{[math]}$ 轴上一个动点，使得 $\text{[math]}$ ，求满足条件的 $\text{[math]}$ 点坐标．
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四、数形结合探究题

7. (2023八下·北京市期末) 探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数的图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．小腾根据学习函数的经验，对函数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：
1. （1）绘制函数图象
  ①列表：下表是 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的几组对应值；
  
            $\text{[math]}$
  …
  0
  1
  …
            $\text{[math]}$
  …
  0
  2
  …
            $\text{[math]}$
  …
  b
  5
  …
  其中，b=     ▲     ；
  ②描点、连线：在同一平面直角坐标系xOy中，描出上表中各组数值所对应的点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 并画出函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的图象．
2. （2）结合函数图象，探究函数性质
  ①函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的图象的交点坐标为 ▲ ，则关于x ， y的二元一次方程组 $\text{[math]}$ 的解是 ▲ ；
  
  ②过点 $\text{[math]}$ 作垂直于x轴的直线与函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的图象分别交于点P ， Q ，当点P位于点Q下方时， $\text{[math]}$ 的取值范围是 ▲ ．
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8. (2023八下·紫阳期末) 小宇根据学习一次函数的经验，对函数 $\text{[math]}$ 的图象与性质进行了探究．下面是他的探究过程，请补充完整．
1. （1）如表列出了部分研究数据：
  x
  …
  $\text{[math]}$
  $\text{[math]}$
  $\text{[math]}$
  0
  1
  2
  3
  4
  …
  y
  …
  2
  1
  0
  $\text{[math]}$
  $\text{[math]}$
  a
  0
  1
  …
  上表 $\text{[math]}$ 的值为；
2. （2）在如图所示的平面直角坐标系中，描出上表中各组对应值为坐标的点，并画出该函数图象；
3. （3）结合函数图象，写出该函数的两条性质．
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9. (2023九上·光明开学考) 数学小组在学习“一元一次不等式与一次函数”这一节课后，尝试解决“一元一次不等式与其它函数”的关系问题．他们确定以函数y＝|x+1|为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解一元一次不等式与函数的关系．

请根据以下探究过程，回答问题．

（1）作出函数y＝|x+1|的图象．

①列表：

x	…	-4	-3	-2	-1	0	1	2	…
y	…	3	a	1	0	1	2	3	…

其中，表格中a的值为 ▲ ；

②描点，连线：

根据表格的数据，请在直角坐标系中描出对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；

（2）观察函数y＝|x+1|的图象，回答下列问题：
①当x＝时，函数y＝|x+1|有最小值，最小值为；
②当时（填自变量x的取值范围），y随x的增大而增大；
（3）已知直线 $\text{[math]}$ ，请结合图象，直接写出不等式 $\text{[math]}$ 的解集是；
（4）若直线 $\text{[math]}$ 与y＝|x+1|有2个交点，则k的取值范围是．

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10. (2020·重庆B) 探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程.结合已有的学习经验，请画出函数y＝﹣ $\text{[math]}$ 的图象并探究该函数的性质.

x	…	﹣4	﹣3	﹣2	﹣1	0	1	2	3	4	…
y	…	﹣ $\text{[math]}$	a	﹣2	﹣4	b	﹣4	﹣2	﹣ $\text{[math]}$	﹣ $\text{[math]}$	…

（1）列表，写出表中a，b的值：a＝_▲__，b＝__▲_；
描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象.
（2）观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确（在答题卡相应位置正确的用“√”作答，错误的用“×”作答）：
①函数y＝﹣ $\text{[math]}$ 的图象关于y轴对称；

②当x＝0时，函数y＝﹣ $\text{[math]}$ 有最小值，最小值为﹣6；

③在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小.
（3）已知函数y＝﹣ $\text{[math]}$ x﹣ $\text{[math]}$ 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式﹣ $\text{[math]}$ ＜﹣ $\text{[math]}$ x﹣ $\text{[math]}$ 的解集.

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11. (2023八下·北碚期中) 探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数的图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数 $\text{[math]}$ 的图象并探究该函数的性质．

x	…	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	0	1	2	3	…
y	…	$\text{[math]}$	a	0	2	b	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	…

（1）列表：写出表格中a，b的值： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
（2）通过描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质；
（3）已知函数 $\text{[math]}$ 的图象如图所示，请结合图象，直接写出不等式 $\text{[math]}$ 的解集．

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12. (2023八下·北京市期末) 有这样一个问题：探究函数 $\text{[math]}$ 的图象与性质．小明根据学习函数的经验，对函数 $\text{[math]}$ 的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整．
1. （1）化简函数表达式：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；
2. （2）如图，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，通过列表描点画出了 $\text{[math]}$ 时的部分图象，请在同一平面直角坐标系中，补全当 $\text{[math]}$ 时的部分图象，并写出函数 $\text{[math]}$ 的两条性质；
3. （3）进一步研究：若点 $\text{[math]}$ 都在函数 $\text{[math]}$ 的图象上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若存在 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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13. (2023八下·通州期中) 探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数 $\text{[math]}$ 的图象并探究该函数的性质．
1. （1）绘制函数图象
  ①列表：下表是x与y的几组对应值，其中m=；
  
  x
  
  …
  
  $\text{[math]}$
  
  $\text{[math]}$
  
  $\text{[math]}$
  
  $\text{[math]}$
  
  0
  
  $\text{[math]}$
  
  1
  
  2
  
  3
  
  …
  
  y
  
  …
  
  1
  
  $\text{[math]}$
  
  2
  
  3
  
  4
  
  3
  
  m
  
  $\text{[math]}$
  
  1
  
  …
  
  ②描点：根据表中的数值描点 $\text{[math]}$ ，补充描出点 $\text{[math]}$ ；
  
  ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象．
2. （2）探究函数性质
  写出函数 $\text{[math]}$ 的一条性质：．
3. （3）运用函数图象及性质
  ①观察你所画的函数图象，回答问题：若点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为该函数图象上不同的两点，则 $\text{[math]}$ ；
  
  ②根据函数图象，写出不等式 $\text{[math]}$ 的解集是．
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14. 探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数 $\text{[math]}$ 性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
0
1
2
3
4
5
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
6
5
4
$\text{[math]}$
2
1
$\text{[math]}$
7
$\text{[math]}$
1. （1）写出函数关系式中 $\text{[math]}$ 及表格中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值：
  $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
2. （2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质：；
3. （3）已知函数 $\text{[math]}$ 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式 $\text{[math]}$ 的解集．
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15. (2019八上·即墨期中) （数学问题）在同一直角坐标系内直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 满足什么条件时，这两条直线互相垂直？
探究问题：我们采取一般问题特殊化的策略来进行探究．

探究一：如图①，在同一直角坐标系内直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 有怎样的位置关系？

解：如图①，设点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上，则点 $\text{[math]}$ 一定在直线 $\text{[math]}$ 上．过点 $\text{[math]}$ 分别作 $\text{[math]}$ 的垂线，垂足分别为 $\text{[math]}$ ．

则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$

∵ $\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$

所以，在同一直角坐标系内直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 互相垂直．

探究二：如图②，在同一直角坐标系内直线 $\text{[math]}$ 上，则点 $\text{[math]}$ 一定在直线 $\text{[math]}$ 上．过点 $\text{[math]}$ 分别作 $\text{[math]}$ 轴的垂线，垂足分别为 $\text{[math]}$ ．

∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

又∵ $\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$

又∵ $\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$

∵ $\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$

所以，在同一直角坐标系内直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 互相垂直．

探究三：如图③，在同一直角坐标系内直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 有怎样的位置关系？

（仿照上述方法解答，写出探究过程）
1. （1）在同一直角坐标系内直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 满足数量关系为时，这两条直线互相垂直．
2. （2）在同一直角坐标系内已知直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ ，使它与直线 $\text{[math]}$ 互相垂直， $\text{[math]}$ 的值为：；两直线垂足的坐标为：．
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16. (2023九上·巴南开学考) 如图，在等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点，点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，沿 $\text{[math]}$ 方向以每秒 $\text{[math]}$ 的速度匀速运动到点 $\text{[math]}$ 设点 $\text{[math]}$ 的运动时间为 $\text{[math]}$ 秒， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ．
根据学习函数的经验，对函数 $\text{[math]}$ 随自变量 $\text{[math]}$ 的变化规律进行探究．
1. （1）直接写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的函数关系式，注明 $\text{[math]}$ 的取值范围，并画出 $\text{[math]}$ 的函数图象；
2. （2）观察 $\text{[math]}$ 的函数图象，写出一条该函数的性质；
3. （3）观察图象，直接写出当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的值 ▲ $\text{[math]}$ 保留 $\text{[math]}$ 位小数，误差不超过 $\text{[math]}$
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17. (2019九上·西城期中) 有这样一个问题：探究函数 $\text{[math]}$ 的图象与性质．
小东根据学习函数的经验，对函数 $\text{[math]}$ 的图象与性质进行了探究．

下面是小东的探究过程，请补充完成：
1. （1）化简函数解析式，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时 $\text{[math]}$ ；
2. （2）根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出函数 $\text{[math]}$ 的图象；备用图
3. （3）结合画出的函数图象，解决问题：若关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 只有一个实数根，直接写出实数a的取值范围：．
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18. (2023八下·淮安期末) 学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数 $\text{[math]}$ 的图像与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整．
1. （1）列表：
  x
  …
  $\text{[math]}$
  $\text{[math]}$
  0
  1
  2
  3
  4
  …
  y
  …
  1
  0
  a
  $\text{[math]}$
  $\text{[math]}$
  b
  1
  …
  则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
2. （2）描点并画出该函数的图象；
3. （3） ①请写出一条关于函数 $\text{[math]}$ 的性质：；
  ②观察函数图象，当 $\text{[math]}$ 时，x的取值范围是；
  ③观察图像，直接写出函数 $\text{[math]}$ 的最小值．
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19. (2022八上·西安期中) 如图
问题提出：
如图，等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 经过点C，过点A作 $\text{[math]}$ 于点D，过点B作 $\text{[math]}$ 于点E，求证： $\text{[math]}$ ；
问题探究：
如图2，在平面直角坐标系中，一次函数 $\text{[math]}$ 与x轴交于点A，与y轴交于点B，以AB为腰在第二象限作等腰直角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求点C的坐标；
问题解决：
古城西安已经全面迎来地铁时代！继西安地铁2号线于2011年9月16日通车试运行以来，共有八条线路开通运营，极大促进了西安市的交通运输，目前还有多条线路正在修建中．如图，地铁某线路原计划按OA-AB的方向施工，由于在AB方向发现一处地下古建筑，地铁修建须绕开此区域．经实地勘测，若将AB段绕点A顺时针或逆时针方向旋转45°至AC或AD方向，则可以绕开此区域．已知OA长为1千米，以点O为原点，OA所在直线为x轴，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系，且射线AB与直线 $\text{[math]}$ 平行，请帮助施工队计算出AC和AD所在直线的解析式．

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20. (2023八下·龙岗期末) 数学小组在学习“一元一次不等式与一次函数”这一节课后，尝试解决“一元一次不等式与其它函数”的关系问题．他们确定以函数 $\text{[math]}$ 为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解一元一次不等式与函数的关系．

请根据以下探究过程，回答问题．

（1）作出函数 $\text{[math]}$ 的图象．

①列表：

$\text{[math]}$	…	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	0	1	2	…
$\text{[math]}$	…	3	$\text{[math]}$	1	0	1	2	3	…

其中，表格中 $\text{[math]}$ 的值为 ▲ ；

②描点，连线：

根据表格的数据，请在直角坐标系中描出对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；

（2）观察函数 $\text{[math]}$ 的图象，回答下列问题：
①当 $\text{[math]}$ 时，函数 $\text{[math]}$ 有最小值，最小值为；
②当时（填自变量 $\text{[math]}$ 的取值范围）， $\text{[math]}$ 随 $\text{[math]}$ 的增大而增大；
（3）已知直线 $\text{[math]}$ ，请结合图象，直接写出不等式 $\text{[math]}$ 的解集是；
（4）若直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 有2个交点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

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21. (2024八上·深圳期末) 【定义】如图1，在同一平面内，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 所在直线的两侧，若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则称点 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的等垂对称点。
1. （1）【理解】如图2，在正方形网格中，点 $\text{[math]}$ 均在格点上，连接 $\text{[math]}$ ，则下列各组点是线段 $\text{[math]}$ 的等垂对称点的是；（填序号）
  ①点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ ②点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ ③点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ ④点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$
2. （2）如图3，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上一点，点 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的等垂对称点，
  ①求证： $\text{[math]}$ ；
  ②若 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，试探究 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并说明理由。
3. （3）【拓展】如图4，已知直线 $\text{[math]}$ 与坐标轴交于点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与坐标轴交于点 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 中恰有两点是线段 $\text{[math]}$ 的等垂对称点，且 $\text{[math]}$ 时，请直接写出线段 $\text{[math]}$ 的长。
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22. (2024八上·南山期末) 先阅读下列材料，然后解决问题：
【阅读感悟】
在平面直角坐标系中，已知点 $\text{[math]}$ ，当t的值发生改变时，点Q的位置也会发生改变，为了求点Q运动所形成的图象的解析式，令点Q的横坐标x ，纵坐标y ，得到了方程组 $\text{[math]}$ 消去t ，得 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，可以发现，点 $\text{[math]}$ 随t的变化而运动所形成的图象的解析式是 $\text{[math]}$ ．
1. （1）【尝试应用】
  观察下列四个点的坐标，不在函数 $\text{[math]}$ 图象上的是____.
  
  A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$
2. （2）求点 $\text{[math]}$ 随t的变化而运动所形成的图象的解析式；
3. （3）【综合运用】
  如图，在平面直角坐标系中，点P在一次函数 $\text{[math]}$ 的图象上运动．已知点 $\text{[math]}$ 为定点，连接 $\text{[math]}$ ，过点A作直线 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求点B随点P的变化而运动所形成的图象的解析式．
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23. (2023八上·吉安期中) 【探索发现】如图1，等腰直角三角形ABC中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直线DE经过点 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，我们称这种全等模型为“ $\text{[math]}$ 型全等”．（不需要证明）
【迁移应用】已知：直线 $\text{[math]}$ 的图象与 $\text{[math]}$ 轴、 $\text{[math]}$ 轴分别交于A、B两点．
图1 图2图3 图4
1. （1）如图2，当 $\text{[math]}$ 时，在第一象限构造等腰直角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；直接写出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
2. （2）如图3，当 $\text{[math]}$ 的取值变化，点 $\text{[math]}$ 随之在 $\text{[math]}$ 轴负半轴上运动时，在 $\text{[math]}$ 轴左侧过点B作 $\text{[math]}$ ，并且 $\text{[math]}$ ，连接ON，问 $\text{[math]}$ 的面积是否发生变化？若不变，求出其值；若变，请说明理由；
3. （3）【拓展应用】如图4，当 $\text{[math]}$ 时，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是直线和直线AB上的动点，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上们坐标为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 是以CQ为斜边的等腰直角三角形时，点 $\text{[math]}$ 的坐标是．
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24. (2023八上·盐湖月考) 综合与探究：如图1，平面直角坐标系中，一次函数 $\text{[math]}$ 图象分别交 $\text{[math]}$ 轴、 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，一次函数 $\text{[math]}$ 的图象经过点 $\text{[math]}$ ，并与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，
1. （1） $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的坐标为；
2. （2）小朱发现 $\text{[math]}$ ，请说明你的理由；
3. （3）如图2，点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴的平行线交直线 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的一半，请通过计算说明原因；
4. （4）若点 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 轴的对称点为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上的一个动点，是否存在点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ？若存在，请直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，说明理由．
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25. (2023八上·盐湖月考) 【模型介绍】
如图 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．则 $\text{[math]}$ ．我们把这个数学模型称为“ $\text{[math]}$ 字”模型或“一线三等角”模型．
【模型应用】
在平面直角坐标系中，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）如图 $\text{[math]}$ ，将直线 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到直线 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 的表达式．下面是小明的想法，请你帮助完成．
  小明想利用“一线三等角”模型解决这个问题．如图，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的垂线交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，再过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴的垂线，垂足为 $\text{[math]}$ ，可求出点 $\text{[math]}$ 的坐标为，从而求得直线 $\text{[math]}$ 的表达式为．
2. （2）若将直线 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，所得直线的表达式为．
3. （3）点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上的一个动点，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上一动点，若 $\text{[math]}$ 是等腰直角三角形，且 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 的坐标是．
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五、实践探究题

26. (2024八上·嘉兴期末) 根据表中素材，探索完成以下任务：

建设“美丽乡村”，落实“乡村振兴”

问题情境

素材1

已知甲、乙两仓库分别有水泥40吨和60吨．

素材2

现在A村需要水泥48吨，B村需要水泥52吨．

素材3

从甲仓库往A，B两村运送水泥的费用分别为20元/吨和25元/吨；

从乙仓库往A，B两村运送水泥的费用分别为15元/吨和24元/吨．

问题解决

分析

设从甲仓库运往A村水泥x吨，补全以下表格．

	运量（吨）		运费（元）
	甲仓库	乙仓库	甲仓库	乙仓库
A村	x	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
B村	$\text{[math]}$	① ▲	$\text{[math]}$	② ▲

问题1

设总运费为y元，请写出y与x的函数关系式并求出最少总运费．

问题2

为了更好地支援乡村建设，甲仓库运往A村的运费每吨减少 $\text{[math]}$ 元，这时甲仓库运往A村的水泥多少吨时总运费最少？最少费用为多少元？（用含a的代数式表示）

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27. (2023·榆树模拟) 缂丝，是中国传统丝绸艺术品中的精华．缂丝织造技艺主要是使用古老的木机（如图①）及若干竹制的梭子和拨子，经过“通经断纬”的织造方法，将五彩的蚕丝线缂织成一幅色彩丰富的织物．缂丝工匠现要完成一件织品，工作一段时间后，记录了工作时间和织品长度的数据变化，并从函数角度进行了如下实验探究．

图①

【数据观察】记录的工作时间x（时）和织品长度y（厘米）的数据变化，如下表：

工作时间x（时）	0	2	4	6	8
织品长度y（厘米）	3	3.6	4.2	4.8	5.4

【探索发现】

（1）建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示记录的工作时间x ，纵轴表示织品长度y ，描出以表格中数据为坐标的各点．

图②
（2）观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由．
（3）如果每天工作10小时，要完成长为240厘米的织品，共需要多少天？

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28. 小明观察到一个水龙头因损坏而不断地向外滴水，为探究其漏水造成的浪费情况，小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面装水，每隔一分钟记录量筒中的总水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如表的一组数据：
时间t(分钟)
1
2
3
4
5
***
总水量y(毫升)
7
12
17
22
27
…
1. （1）探究：根据上表中的数据，请判断 $\text{[math]}$ 和y=kt+b(k，b为常数，k≠0)哪一个能正确反映总水量y与时间t的函数关系，并求出y关于t的函数表达式.
2. （2）应用：
  ①请你估算小明在第20分钟测量时量筒的总水量是多少毫升.
  ②一个人一天大约饮用1500毫升水，请你估算这个水龙头一个月(按30天计)的漏水量可供一人饮用多少天.
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29. 综合与实践：.
【问题情境】
小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下：
售价（元/盆）日销售量（盆）
A 20 50
B 30 30
C 18 54
D 22 46
E 26 38
【数据整理】
1. （1）请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中：
  售价（元/盆）
  
  日销售量（盆）
2. （2）分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系.
3. （3）根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中，
  ①要想每天获得400元的利润，应如何定价？
  ②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？
  冲剌高分练
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30. (2023九上·杭州月考) 某课外科技活动小组研制了一种航模飞机．通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ）以、飞行高度 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ）随飞行时间 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ）变化的数据如下表．
飞行时间 $\text{[math]}$
0
2
4
6
8
…
飞行水平距离 $\text{[math]}$
0
10
20
30
40
…
飞行高度 $\text{[math]}$
0
22
40
54
64
…
1. （1）探究发现： $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数解析式和 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）．
2. （2）问题解决：如图，活动小组在水平安全线上 $\text{[math]}$ 处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题．
  ①若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；
  ②在安全线上设置回收区域 $\text{[math]}$ ．若飞机落到 $\text{[math]}$ 内（不包括端点 $\text{[math]}$ ），求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．
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31. (2023八上·市北区期中) 五子棋的比赛规则是：只要同色5子连成一条直线为胜利．如图是两人玩的一盘棋，若白棋①的位置是（1，﹣5），黑棋②的位置是（2，﹣4）．解答下列问题：
1. （1）白棋③的位置是；
2. （2）如果现在轮到黑棋走，黑棋放在位置就获得胜利了；
3. （3）如果现在轮到白棋走，白棋放在位置就获得胜利了．
4. （4）在（2）的条件下，黑棋获胜了．
  ①设此时黑色5子连成直线的表达式是y＝ax+b，则方程ax+b＝0的解是．
  ②若黑色5子连成直线的表达式中y＜0，则x的取值范围是．
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32. (2023八上·龙岗期中) 综合与实践．
【问题情境】“漏壶”是一种古代计时器，在社会实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图（a）所示的液体漏壶，该漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体．
【实验观察】下表是实验记录的圆柱容器液面高度 $\text{[math]}$ 与时间 $\text{[math]}$ 的数据：
时间 $\text{[math]}$ 1 2 3 4 5
6圆柱容器液面高度 $\text{[math]}$ 6 10 14 18 22
1. （1）【探索发现】
  请你根据表中的数据在图（b）中描点、连线，用所学过的一次函数的知识确定 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的函数表达式；
2. （2）【结论应用】
  如果本次实验记录的开始时间是上午 $\text{[math]}$ ，那么当圆柱容器液面高度达到 $\text{[math]}$ 时是几点？
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33. (2023八上·西安期中)
1. （1）问题发现：
  如图1，等腰直角 $\text{[math]}$ 置于平面直角坐标系中，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的坐标分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 的坐标为
2. （2）问题探究：如图2，若点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的坐标分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其余条件与（1）相同，求经过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点的直线表达式。
3. （3）问题解决：国庆前夕，大唐芙蓉园景区为了提高服务质量，想尽可能美化每一个角落，给游客美的享受．如图3， $\text{[math]}$ 是景区东门的广场一角， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 两面墙互相垂直，景区管理部门设计将 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 墙面布置成历史人文宣传墙， $\text{[math]}$ 边上用建筑隔板搭出 $\text{[math]}$ 段将该角落与广场其他区域隔开， $\text{[math]}$ 段布置成长安八景图，剩余 $\text{[math]}$ 部分为广场角出入口，内部空间放置一些绿植和供游人休息的桌椅，考虑到出入安全，还需在靠近出入口的 $\text{[math]}$ 处建一个安检点．已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，安检点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的交点处．求点 $\text{[math]}$ 分别到 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 墙面的距离。
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34. (2023九上·石家庄期中) 综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为 $\text{[math]}$ 的矩形地块 $\text{[math]}$ 种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为 $\text{[math]}$ ．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若 $\text{[math]}$ ，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ．由矩形地块面积为 $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ ，满足条件的 $\text{[math]}$ 可看成是反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为 $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ ，满足条件的 $\text{[math]}$ 可看成一次函数 $\text{[math]}$ 的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的 $\text{[math]}$ 就可以看成两个函数图象交点的坐标．
如图2，反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象与直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的交点坐标为 $\text{[math]}$ 和 ▲ ，因此，木栏总长为 $\text{[math]}$ 时，能围出矩形地块，分别为： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；或 $\text{[math]}$ ▲ m ， $\text{[math]}$ ▲ m ．
1. （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空．
2. （2）【类比探究】
  若 $\text{[math]}$ ，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．
3. （3）【问题延伸】
  当木栏总长为 $\text{[math]}$ 时，小颖建立了一次函数 $\text{[math]}$ ．发现直线 $\text{[math]}$ 可以看成是直线 $\text{[math]}$ 通过平移得到的，在平移过程中，当过点 $\text{[math]}$ 时，直线 $\text{[math]}$ 与反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象有唯一交点．
  请在图2中画出直线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ 时的图象，并求出 $\text{[math]}$ 的值．
4. （4）【拓展应用】
  小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“ $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 图象在第一象限内交点的存在问题”．
  若要围出满足条件的矩形地块，且 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的长均不小于 $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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