备考2024年中考数学探究性训练专题7 二次根式

通过计算求出斐波那契数列中的第1个数为，第2个数为．

因为 ， 所以因为 ， 所以请你根据以上规律，结合你的经验化简下列各式：

已知 ， 求的值．他们是这样解答的：

∵

∴

∴即

∴

∴ ．

请你根据张兵小组的解题方法和过程，解决以下问题：

下面是小丽的探究过程，请补充完整：

验证：

验证：

先观察下列等式，再回答问题：

善于思考的小明在学习《实数》一章后，自己探究出了下面的两个结论：

① ， ， 和 都是9×4的算术平方根，

而9×4的算术平方根只有一个，所以 = ．

② ， ， 和 都是9×16的算术平方根，

而9×16的算术平方根只有一个，所以　　 ．

请解决以下问题：

小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 ． 善于思考的小明进行了以下探索：

设（其中a、b、m、n均为整数），则有 ．

      ， ． 这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

例如：3＋2＝（1＋）² ， 善于思考的小敏进行了以下探索：

当a、b、m、n均为整数时，若a＋b＝（m＋n）² ， 则有a＋b＝m²＋2n²＋2mn ．

a＝m²＋2n² ， b＝2mn．这样小敏就找到了一种把类似a＋b的式子化为平方式的方法．

请你仿照小敏的方法探索并解决下列问题：

数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去里面的一层根号．例如： ．

解决问题：

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

【主题探究】在学习二次根式的过程中，某数学兴趣小组发现有一些特殊无理数之间也具有互为倒数的关系．例如： ， 可得与互为倒数．

即 ， ．

类似的， ， ， ， ．

【启发应用】请根据以上规律，解决下列问题：

材料一：两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．

例如： ， ， 我们称的一个有理化因式是 ， 的一个有理化因式是 ．

材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．

例如： ，

．

请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：

下面是小丽的探究过程，请补充完整：

即

请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题：

请仿照上述方法探索并解决下列问题：

【问题解决】

设（其中a、b、m、n均为正整数），则有 ，

∴a＝m²+2n² ， b＝2mn．

这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

问题：

方法介绍：

经过 步操作( 为正整数)不断寻找有理数 ， ，使得 ，并且让 的值越来越小,同时利用数轴工具将任务几何化,直观理解通过等分线段的方法不断缩小 对应的点 所在线段的长度(二分法)  

思路分析：

在数轴上记 ， 对应的点分别为 ， 和 的平均数 对应线段 的中点（记为 ）.通过判断 还是 ，得到点 是在二等分后的“左线段 ”上还是“右线段 ”上，重复上述步骤，不断得到 ，从而得到 更精确的近似值.

具体操作步骤及填写“阅读活动任务单”：