备战2024学年中考数学细点逐一突破真题训练第12章全等三角...

更新时间：2023-11-30 浏览次数：56 类型：一轮复习

一、一线三等角型

1. (2023·重庆) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D为 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ．过点B作 $\text{[math]}$ 于点E，过点C作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点F．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长度为．

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2. (2023·广西) 如图， $\text{[math]}$ 是边长为4的等边三角形，点D，E，F分别在边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上运动，满足 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）设 $\text{[math]}$ 的长为x， $\text{[math]}$ 的面积为y，求y关于x的函数解析式；
3. （3）结合（2）所得的函数，描述 $\text{[math]}$ 的面积随 $\text{[math]}$ 的增大如何变化．
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3. (2023八下·岳阳期末)
　　　　
1. （1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰 $\text{[math]}$ 的直角顶点 $\text{[math]}$ 在原点，若顶点A恰好落在点 $\text{[math]}$ 处，则点 $\text{[math]}$ 的坐标为．
2. （2）感悟应用：如图2，一次函数 $\text{[math]}$ 的图像与 $\text{[math]}$ 轴交于点A ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作线段 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 交轴于点D ．
  ①点A的坐标为，点B的坐标为；
  ②直接写出点C的坐标；
3. （3）拓展研究：如图3，在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ 轴、 $\text{[math]}$ 轴上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 点的坐标为 $\text{[math]}$ ，点A的坐标为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在第四象限，请求出点 $\text{[math]}$ 的坐标．
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4. (2023·荆州) 如图1，点P是线段AB上与点A，点B不重合的任意一点，在AB的同侧分别以A，P，B为顶点作 ∠1=∠2=∠3，其中∠1与∠3的一边分别是射线AB和射线BA，∠2的两边不在直线AB上，我们规定这三个角互为等联角，点P为等联点，线段AB为等联线．
1. （1）如图2，在5×3个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，AB为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点的方法，作出以线段AB为等联线、某格点P为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；
2. （2）如图3，在Rt△APC中，∠A=90°， $\text{[math]}$ ，延长AP至点B，使AB=AC，作∠A的等联角∠CPD和∠PBD．将△APC沿PC折叠，使点A落在点M处，得到△MPC，再延长PM交BD的延长线于E，连接CE并延长交PD的延长线于F，连接BF．
  ①确定△PCF的形状，并说明理由；
  
  ②若AP：PB=1：2，BF= $\text{[math]}$ k，求等联线AB和线段PE的长（用含k的式子表示）．
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二、手拉手模型

5. (2023·宁夏) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ．连接 $\text{[math]}$ ，将线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到线段 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．则 $\text{[math]}$ 的面积是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2023·相城模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为边在 $\text{[math]}$ 下方作 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为．

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7. (2023·黄冈) 【问题呈现】
$\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是直角三角形， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，探究 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的位置关系．
1. （1）如图1，当 $\text{[math]}$ 时，直接写出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的位置关系：；
2. （2）如图2，当 $\text{[math]}$ 时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
3. （3）【拓展应用】
  当 $\text{[math]}$ 时，将 $\text{[math]}$ 绕点C旋转，使 $\text{[math]}$ 三点恰好在同一直线上，求 $\text{[math]}$ 的长．
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8. (2023·安庆模拟) 已知 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是等边三角形，分别连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）如图1，若 $\text{[math]}$ ．
  ①求 $\text{[math]}$ 的度数；
  
  ②延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F ，求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）如图2，若点D在边 $\text{[math]}$ 上，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点G ，连接 $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ．
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9. (2023·莱西模拟)
1. （1）【问题呈现】
  如图1， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是等边三角形，连接 $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ．
2. （2）【类比探究】
  如图2， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ．连接 $\text{[math]}$ ．请直接写出 $\text{[math]}$ 的值．
3. （3）【拓展提升】
  如图3， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是直角三角形， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．连接 $\text{[math]}$ ．延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F，交 $\text{[math]}$ 于点G．求 $\text{[math]}$ 的值．
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三、倍长中线型

10. (2023·官渡模拟) “倍长中线法”是解决几何问题的重要方法．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，具体做法是：如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中线，延长 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，构造出 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ．

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11. (2023九下·德化月考) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是斜边 $\text{[math]}$ 上的中点， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 边上的点，且 $\text{[math]}$
1. （1）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求四边形 $\text{[math]}$ 的面积.
2. （2）求证： $\text{[math]}$ .
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12. (2023·柳州模拟) 综合与实践
小明遇到这样一个问题，如图1， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D为 $\text{[math]}$ 的中点，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长 $\text{[math]}$ 到E，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，构造 $\text{[math]}$ ，经过推理和计算使问题得到解决

请回答：
1. （1）小明证明 $\text{[math]}$ 用到的判定定理是：____；（填入你选择的选项字母）
  
  A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$
2. （2） $\text{[math]}$ 的取值范围是.
3. （3）小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造.
  参考小明思考问题的方法，解决问题：
  如图3，在正方形 $\text{[math]}$ 中，E为 $\text{[math]}$ 边的中点，G、F分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 边上的点，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.
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13. (2023八下·蒙城期末) 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， F是 $\text{[math]}$ 的中点，作 $\text{[math]}$ 于点E，垂足E在线段 $\text{[math]}$ 上（不与A、B重合），连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．
1. （1）如图1，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数；
2. （2）求证： $\text{[math]}$ ；
3. （3）如图2，若E为 $\text{[math]}$ 的中点，请直接写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的关系．
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14. (2023八下·成都期末) 在等腰直角 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将直角边AC绕点A顺时针旋转得到AP，旋转角为 $\text{[math]}$ ，连接CP，PB．
1. （1）如图1，当 $\text{[math]}$ 时，求BP的长；
2. （2）如图2，若 $\text{[math]}$ ，且D为AB中点，连接PD，猜想CP和DP的数量关系，并说明理由；
3. （3）在旋转过程中，当 $\text{[math]}$ 时，求旋转角 $\text{[math]}$ 的度数．
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四、半角模型（45°，60°，120°）

15. (2023·重庆) 如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 一定等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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16. (2023·平凉模拟)
1. （1）建立模型：如图 $\text{[math]}$ ，在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ ，探究图中线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系 $\text{[math]}$ 小王同学探究此问题的方法是将 $\text{[math]}$ 绕 $\text{[math]}$ 点逆时针旋转 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合，连接 $\text{[math]}$ ，由此得到 $\text{[math]}$ ，再证明 $\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ ，可得出线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系为．
2. （2）拓展延伸：如图 $\text{[math]}$ ，在等腰直角三角形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，写出图中线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系并证明．
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17. (2023·苏州模拟)
1. （1）如图①，在正方形 $\text{[math]}$ 中，E，F分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 边上的动点，且 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点D逆时针旋转90°，得到 $\text{[math]}$ ，可以证明 $\text{[math]}$ ，进一步推出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系为；
2. （2）在图①中，连接 $\text{[math]}$ 分别交 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 于P，Q两点，求证： $\text{[math]}$ ；
3. （3）如图②，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点E，F分别是边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的动点（不与端点重合），且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 分别与边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于M，N.当 $\text{[math]}$ 时，猜想 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间存在什么样的数量关系，并证明你的结论.
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五、截长补短模型

18. (2023七下·沙坪坝期末) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）如图1，若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数；
2. （2）如图2，若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．
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19. (2023八下·费县期中) 如图，四边形 $\text{[math]}$ 是正方形，M是 $\text{[math]}$ 边上的一点，E是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ．
1. （1）判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并说明理由；
2. （2）求证： $\text{[math]}$ ；
3. （3）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．
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20. (2023·武威)
1. （1）【模型建立】如图1， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是等边三角形，点 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的对称点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上．
  ①求证： $\text{[math]}$ ；
  ②用等式写出线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的数量关系，并说明理由．
2. （2）【模型应用】
  如图2， $\text{[math]}$ 是直角三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的对称点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上．用等式写出线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的数量关系，并说明理由．
3. （3）【模型迁移】
  在（2）的条件下，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
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六、对角互补模型

21. (2023八下·西安月考) 问题探究：
1. （1）如图1， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是高，求证： $\text{[math]}$ .
2. （2）如图2，在（1）条件下， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ ，如果 $\text{[math]}$ ，那么四边形 $\text{[math]}$ 的面积是；
3. （3）如图3，四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.
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七、十字架模型

22. (2022八上·杭州期中) 如图：
1. （1）如图1，已知线段AD、EC相交于点F，连接AE、DC．若∠E＝∠D=90°，
  求证：∠A＝∠C；
2. （2）如图2，△ABC中， AD⊥BC垂足为点D，CE⊥AB垂足为点E，∠BAC=45°．
  求证：BE＝EF；
3. （3）如图3，在（2）的前提下，若AB＝AC，求 $\text{[math]}$ 的值．
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23. (2023·黄石) 如图，正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ ；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的大小．
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24. (2023八下·邹城期中) 正方形 $\text{[math]}$ 中，点E为 $\text{[math]}$ 边上的任意一点（点E不与B，C重合），点P为线段 $\text{[math]}$ 上一动点，过点P作直线 $\text{[math]}$ ．
1. （1）如图1，当直线l经过点D时，直线l交 $\text{[math]}$ 边于点F，求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）如图2，当直线l分别交 $\text{[math]}$ 边， $\text{[math]}$ 边于点M，点N时，如果 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．
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25. (2023八下·青秀月考) 如图，正方形 $\text{[math]}$ 边长为4，点E在边 $\text{[math]}$ 上（点E与点A、B不重合），过点A作 $\text{[math]}$ ，垂足为G， $\text{[math]}$ 与边 $\text{[math]}$ 相交于点F.
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；
3. （3）在（2）的条件下，取 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点M，N，连接 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.
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26. (2023·浙江模拟) 如图，正方形 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ ， E，F分别是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 分别交于点M，N. 请你回答下列问题：
1. （1）求证： $\text{[math]}$ .
2. （2）直接写出 $\text{[math]}$ 的长.
3. （3）求 $\text{[math]}$ 的面积.
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八、角平分线模型

27. (2023·永州) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，再分别以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为圆心，大于 $\text{[math]}$ 的定长为半径画弧，两弧交于点 $\text{[math]}$ ，作射线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，则下列结论不正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 一定经过 $\text{[math]}$ 的内心

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28. (2023·随州) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， D为 $\text{[math]}$ 上一点，若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的角平分线，则 $\text{[math]}$ ．

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29. (2023八上·余姚期末) 如图，在四边形 $\text{[math]}$ 中，P为 $\text{[math]}$ 边上的一点， $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的角平分线.
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的度数为， $\text{[math]}$ 的度数为；
2. （2）求证： $\text{[math]}$ ；
3. （3）设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过点P作一条直线，分别与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所在直线交于点E、F，若 $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 的长（用含a的代数式表示）
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30. (2023·莲湖模拟) 在平面直角坐标系中，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴的负半轴上，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴的正半轴上，点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 轴对称.
1. （1）如图1， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系为；
2. （2）如图2， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数；
3. （3）如图3， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的垂直平分线上，作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，试探究 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量和位置关系.
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