探究:如图②,在四边形ABCD中,点P在BC边上,当∠B=∠C=∠APD时,求证:△ABP∽△PCD.
拓展:如图③,在△ABC中,点P是边BC的中点,点D、E分别在边AB、AC上.若∠B=∠C=∠DPE=45°,BC=6 ,CE=4,则DE的长为.
小腾发现,过点作 , 交的延长线于点 , 通过构造 , 经过推理和计算能够使问题得到解决如图 .
请回答:
图① 图② 图③
(精确到0.001,参考数据: , , , )
求证:点D是线段AC的黄金分割点.
我们可以发现,当两条直线与一组平行线相交时,所截得的线段存在一定的比例关系: . 这就是如下的基本事实: 两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.(简称“平行线分线段成比例”) |
图1中,的值为,的值为.
若将△CDE绕点C旋转,在旋转过程中的大小有无变化?请仅就图2的情形给出证明.
当△CDE旋转至A , D , C三点共线时,直接写出线段BE的长.
如图1,在中, , D是线段上一动点,以为一条边在A的左侧作 , 使 , 连接 . 则与的数量关系为.
如图2,在中,D是线段上一动点,以为一条边在的左侧作 , 使且 , 连接 . 则(1)中与的数量关系仍然成立吗?请说明理由.
如图3,在(2)的条件下,若 , , 当取最小值时,的面积为.
操作1:将正方形沿过点的直线折叠,使折叠后的点落在对角线上的点处,折痕为 .
操作2:将沿过点的直线折叠,使点 , 点分别落在边 , 上,折痕为 .
则四边形为矩形.
证明:设正方形的边长为1,则 .
由折叠性质可知 , , 则四边形为矩形,
∴ , ∴ .
∴ , 即 , ∴ , ∴ ,
∴四边形为矩形.
阅读以上内容,回答下列问题:
配方法是数学中一种很重要的恒等变形方法,我们已经学习了用配方法解一元二次方程,并在此基础上得出了一元二次方程的求根公式.其实配方法还有很多重要的应用.例如我们可以用配方法求代数式的最值及取得最值的条件,如下面的例子:
例:求多项式的最小值
解:
,
多项式的最小值为−7,此时, .
仿照上面的方法,解决下面的问题:
如图1,点是矩形内一点,过点的直线 , 分别交矩形的边为点 . 若 , 则;
如图2,在平行四边形中,点分别在边上,连接与交于点 . 求证:;
如图3,在四边形中, , 在边上,连接与交于点 , 当时,求的值.
②的值为 ;
【问题解决】如图2.小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验,地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜,手电筒的灯泡在点G处,手电筒的光从平面镜上点B处反射后,恰好经过木板的边缘点F , 落在墙上的点E处,点E到地面的高度 , 点F到地面的高度 , 灯泡到木板的水平距离 , 木板到墙的水平距离为.图中点A , B , C , D在同一条直线上.
图1 图2
测量旗杆的高度
素材1 可以利用影子测量旗杆的高度.如图1,光线 , DN,BM分别是旗杆和小陈同学在同一时刻的影子.
素材2 可以利用镜子测量旗杆的高度.如图2,小陈同学从镜子E中刚好可以看见旗杆的顶端C,测得.
素材3 可以利用标杆测量旗杆的高度.如图3,点G,P,C在同一直线上,标杆 , 测得 , . (说明:小陈同学、旗杆CD与标杆PQ均垂直于地面,小陈同学的眼睛G离地面的距离)
①如图,在地面上的点E处放置一块平面镜(镜子大小忽略不计),小阳站在BE的延长线上,当小阳从平面镜中刚好看到树的顶点A时,测得小阳到平面镜的距离DE=2m , 小阳的眼睛点C到地面的距离CD=1.6m;
②将平面镜从点E沿BE的延长线移动6m放置到点H处,小阳从点D处移动到点G , 此时小阳的眼睛点F又刚好在平面镜中看到树的顶点A , 这时测得小阳到平面镜的距离GH=3.2m . 请根据以上测量过程及数据求出树的高度AB .
项目主题:测量旗杆高度
问题驱动:能利用哪些科学原理来测量旗杆的高度?
组内探究:由于旗杆较高,需要借助一些工具来测量,比如自制的直角三角形硬纸板,标杆,镜子,甚至还可以利用无人机…确定方法后,先画出测量示意图,然后实地进行测量,并得到具体数据,从而计算旗杆的高度.
成果展示:下面是同学们进行交流展示时的部分测量方案:
| 方案一 | 方案二 | … | ||
测量工具 | 标杆,皮尺 | 自制直角三角板硬纸板,皮尺 | … | ||
测量示意图 | 说明:线段AB表示学校旗杆,小明的眼睛到地面的距离CD=1.7m,测点F与B,D在同一水平直线上,D,F,B之间的距离都可以直接测得,且A,B,C,D,E,F都在同一竖直平面内,点A,C,E三点在同一直线上. | 说明:线段AB表示旗杆,小明的身高CD=1.7m,测点D与B在同一水平直线上,D,B之间的距离可以直接测得,且A,B,C,D,E,F,G都在同一竖直平面内,点A,C,E三点在同一直线上,点C,F,G三点在同一直线上. | |||
测量数据 | B,D之间的距离 | 16.8m | B,D之间的距离 | 16.8m | … |
D,F之间的距离 | 1.35m | EF的长度 | 0.50m | … | |
EF的长度 | 2.60m | CE的长度 | 0.75m | … | |
… | … |
根据上述方案及数据,请你选择一个方案,求出学校旗杆AB的高度.(结果精确到0.1m);
由光的反射定律知:反射角等于入射角(如图1,即).小军测量某建筑物高度的方法如下:在地面点E处平放一面镜子,经调整自己位置后,在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A . 经测得,小军的眼睛离地面的距离 , , , 求建筑物AB的高度.
观察小军的操作后,小明提出了一个测量广告牌高度的做法(如图2):他让小军站在点D处不动,将镜子移动至处,小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G , 测出;再将镜子移动至处,恰好通过镜子看到广告牌的底端A , 测出 . 经测得,小军的眼睛离地面距离 , , 求这个广告牌AG的高度.
小军和小明讨论后,发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度,他们给出了如下测量步骤(如图3):①让小军站在斜坡的底端D处不动(小军眼睛离地面距离),小明通过移动镜子(镜子平放在坡面上)位置至E处,让小军恰好能看到塔顶B;②测出;③测出坡长;④测出坡比为(即).通过他们给出的方案,请你算出信号塔AB的高度(结果保留整数).