备考2024年中考数学探究性训练专题4 乘法公式

更新时间：2024-03-10 浏览次数：23 类型：二轮复习

一、填空题

1. (2017八下·禅城期末) 如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为智慧数：如3=2²﹣1，5=3²﹣2² ， 7=4²﹣3² ， 8=3²﹣1² ， 9=5²﹣4² ， 11=6²﹣5²…探索从1开始第20个智慧数是．

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2. 定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m ， n的平方差，且 $\text{[math]}$ ，则称这个正整数为“方差优数”，例如 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， 12就是一个“方差优数”，可以利用 $\text{[math]}$ 进行研究，若将“方差优数”从小到大排列，则第10个“方差优数”是．

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3. (2018七下·太原期中) 南宋数学家杨辉在研究(a+b)ⁿ展开式各项的系数时，采用了特殊到一般的方法，他将(a+b)⁰ ， (a+b)¹ ， (a+b)² ， (a+b)³ ， …，展开后各项的系数画成如图所示的三角阵，在数学上称之为杨辉三角．已知(a+b)⁰＝1，(a+b)¹＝a+b，(a+b)²＝a²+2ab+b² ， (a+b)³＝a³+3a²b+3ab²+b³ ．按杨辉三角写出(a+b)⁵的展开式是．

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4. (2019七下·成都期末) 如图，长方形是由若干个小长方形和小正方形组成，从面积的角度研究这个图形，可以得到一个数学等式，这个数学等式是．（用图中的字母表示出来）

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5. (2023七下·万源月考) 乘法公式的探究及应用.

小题1：如图1，可以求出阴影部分的面积是 (写成两数平方差的形式)；

小题2：如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是，长是，面积是 (写成多项式乘法的形式).

小题3：比较图 1，图2的阴影部分面积，可以得到乘法公式 (用式子表达).

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二、实践探究题

6. (2018八上·海淀期中) 已知在△ABC中，三边长a ， b ， c满足等式a²﹣21b²﹣c²+4ab+10bc＝0，请你探究a ， b ， c之间满足的等量关系，并说明理由．

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7. (2023七下·南明月考) 通过学习，同学们已经体会到灵活运用乘法公式使整式的乘法运算方便、快捷．相信通过对下面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦．例：用简便方法计算： $\text{[math]}$ ．
解： $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ①
$\text{[math]}$ ②
$\text{[math]}$ ．
1. （1）例题求解过程中，由①到②变形是利用（填乘法公式的名称）．
2. （2）用简便方法计算： $\text{[math]}$ ．
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8. (2020七下·无锡月考) 阅读材料：若x²－2xy＋2y²－8y＋16＝0，求x、y的值.
解：∵x²－2xy＋2y²－8y＋16＝0，

∴（x²－2xy＋y²）＋（y²－8y＋16）＝0

∴（x－y）²＋（y－4）²＝0，

∴（x－y）²＝0，（y－4）²＝0，

∴y＝4，x＝4.

根据你的观察，探究下面的问题：

已知a、b满足a²＋b²－4a－6b＋13＝0.求a、b的值.

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9. (2020七下·江阴月考) 阅读材料：若x²－2xy＋2y²－8y＋16=0，求x、y的值.
解：∵x²－2xy＋2y²－8y＋16=0，∴(x²－2xy＋y²)＋(y²－8y＋16)=0，∴(x－y)²＋(y－4)²=0，∴(x－y)²=0，(y－4)²=0，∴y=4，x=4.

根据你的观察，探究下面的问题：

已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a²＋b²－4a－6b＋13=0.求△ABC的边c的值.

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10. (2022七下·驻马店月考) 类比探究.
1. （1）填空：
  （a﹣b）（a+b）＝；
  
  （a﹣b）（a²+ab+b²）＝；
  
  （a﹣b）（a³+a²b+ab²+b³）＝；
  
  …
  
  （a﹣b）（a²⁰²²+a²⁰²¹b+…+ab²⁰²¹+b²⁰²²）＝.
2. （2）猜想：（a﹣b）（a^n﹣¹+a^n﹣²b+…+ab^n﹣²+b^n﹣¹）＝（其中n为正整数，且n≥2）.
3. （3）利用（2）中猜想的结论计算：2⁹﹣2⁸+2⁷﹣…+2³﹣2²+2.
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11. (2023八下·斗门期末)
【数学探究】
1. （1）用“=”、“ $\text{[math]}$ ”“ $\text{[math]}$ ”填空：
  ① $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
  
  ② $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
  
  ③ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；
2. （2）由（1）中各式猜想 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的大小，并说明理由．
3. （3）请利用上述结论解决下面问题：某同学在做一个面积为 $\text{[math]}$ ，对角线相互垂直的四边形风筝时，求用来做对角线的竹条至少要 $\text{[math]}$ ．
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12. 教材中的探究启发我们：通过用不同的方法计算同一图形的面积，可以探求出计算多项式乘法或分解因式的新途径.例如，选取图 1中的正方形、长方形硬纸片共 6 块，拼出一个如图2所示的长方形，计算它的面积可以得到相应的等式： $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ .
1. （1）请根据图 3写出代数恒等式，并根据所写恒等式计算 $\text{[math]}$ .
2. （2）若 $\text{[math]}$ 求 x +y+z的值.
3. （3）试借助图1 的硬纸片，利用拼图的方法把二次多项式 $\text{[math]}$ 分解因式，并把所拼的图形画在虚线方框内.
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13. (2022八上·太原月考) 综合与探究
【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如，由图可以得到 $\text{[math]}$ ，基于此，请解答下列问题．
1. （1）【直接应用】若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
2. （2）【类比应用】若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．
3. （3）【知识迁移】将两块全等的特制直角三角板（ $\text{[math]}$ ）按如图所示的方式放置，其中点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在同一直线上，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 也在同一直线上，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求一块直角三角板的面积．
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14. (2023八上·长春月考) 【感知】已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
解： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ．
$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
【探究】参考上述过程，解答下列问题：
1. （1）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；
2. （2）如图 $\text{[math]}$ 所示，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）若 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
4. （4）如图 $\text{[math]}$ ，在长方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ ，分别以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为边在长方形 $\text{[math]}$ 外侧作正方形 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，若长方形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，直接写出图中阴影部分的面积和为．
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15. (2023八上·伊通期中) 对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式.以图①中的正方形ABCD为例：
探究：如图①，用含a，b的式子完成以下题目中的（2）和（3）：（1）正方形ABCD的边长为 $\text{[math]}$ ，因为正方形的面积等于正方形边长的平方，所以正方形ABCD的面积可以表示为 $\text{[math]}$ .
1. （1）仔细观察图①，正方形ABCD被分割成甲、乙、丙、丁四部分，甲部分的面积为ab，乙部分的面积为 $\text{[math]}$ ，丙部分的面积为，丁部分的面积为.将这四部分的面积相加就可以得到正方形ABCD的面积为：.
2. （2）以上（1）和（2）的探究过程，都表示出了正方形ABCD的面积，从而得到两个数和的平方公式： $\text{[math]}$ .
3. （3）根据探究的过程，用含有a，b，c的式子表示出由图②中的正方形EFGH可以得到的数学等式：；
4. （4）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
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16. (2023八上·廉江月考) 知识探究：
如图1是两直角边长分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的直角三角形，如果用四个与图1完全一样的直角三角形可以拼成如图2和图3的几何图形，其中图2和图3的四边形 $\text{[math]}$ 、四边形 $\text{[math]}$ 都是正方形、请你根据几何图形部分与整体的关系完成下列各题
1. （1）请选择 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中的有关代数式表示：
  图2中正方形 $\text{[math]}$ 的面积：．
  图3中正方形 $\text{[math]}$ 的面积：．
2. （2）请你根据题（1），写出下列三个代数式： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的等量关系．
3. （3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
  ①已知： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求： $\text{[math]}$ 的值；
  ②已知： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求： $\text{[math]}$ 的值．
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17. 问题再现：
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．
例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式．
证明：将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图1：
这个图形的面积可以表示成：
（a+b）²或 a²+2ab+b²
∴（a+b）²=a²+2ab+b²
这就验证了两数和的完全平方公式．
类比解决：
①请你类比上述方法，利用图形的几何意义证明平方差公式．（要求画出图形并写出推理过程）
问题提出：如何利用图形几何意义的方法证明：1³+2³=3²？
如图2，A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1=1³
B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2=2³
而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形．
由此可得：1³+2³=（1+2）²=3²
尝试解决：
②请你类比上述推导过程，利用图形的几何意义确定：1³+2³+3³= ▲ ．（要求写出结论并构造图形写出推证过程）．
问题拓广：
③请用上面的表示几何图形面积的方法探究：1³+2³+3³+…+n³= ▲ ．（直接写出结论即可，不必写出解题过程）

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18. (2023七下·上城期末) 综合实践．
活动主题：探究图形面积与代数式之间的关系

活动资源：提供长度不同的两种木棒各 $\text{[math]}$ 根 $\text{[math]}$ 如图 $\text{[math]}$

入项任务：运用以上 $\text{[math]}$ 根木棒 $\text{[math]}$ 不折断 $\text{[math]}$ 摆成长方形或正方形，且木棒全部用完 $\text{[math]}$ 选取同学们的甲、乙、丙、丁四种不同的摆法 $\text{[math]}$ 如图 $\text{[math]}$ 进行研究．

问题探究过程
1. （1）发现问题：
  请观察以上所有图形，并研究不同2种或2种以上 $\text{[math]}$ 摆法的图形面积之间关系，你发现哪些结论？
  例如：小明发现：甲摆法的面积是乙摆法总面积的2倍．
  小张发现：丁摆法的总面积大于乙摆法的总面积．
  聪明的你，能提出不同于小明和小张的更创新更有意义问题吗？
  你的发现是； $\text{[math]}$ 请用简洁的语言描述 $\text{[math]}$
2. （2）提出问题：
  请用代数式表示你的发现 $\text{[math]}$ 设两种木棒的长度分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 其中 $\text{[math]}$ ，四种图形面积分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
  例如：小明的结论是 $\text{[math]}$ ．
  小张的结论是 $\text{[math]}$ ，
  你的结论是：；
3. （3）分析问题：
  请用所学的数学知识证明你的结论．
  例如：小明的证明方法如下．
  证： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
  $\text{[math]}$ ，
  你的证明：；
4. （4）拓展创新：
  把甲摆法围成大长方形纸片沿虚线剪成四个全等的小长方形，请用四个小长方形拼摆出边长为 $\text{[math]}$ 的正方形，画出示意图，并用等式表达示意图中的各图形面积之间的关系．
  你的示意图：；
  你的关系式：．
5. （5）迁移应用：
  根据以上的研究结论，请解决数学问题，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
  
  你的解答：．
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19. (2024九上·贵州期末) 数学活动课上，老师提出一个探究问题：
制作一个体积为 $\text{[math]}$ ，底面为正方形的长方体包装盒，当底面边长为多少时，需要的材料最省（底面边长不超过3 $\text{[math]}$ ，且不考虑接缝）．
某小组经讨论得出：材料最省，就是尽可能使得长方体的表面积最小．
下面是他们的探究过程，请补充完整：
1. （1）设长方体包装盒的底面边长为x $\text{[math]}$ ，表面积为 $\text{[math]}$ 、可以用含x的代数式表示长方体的高为 $\text{[math]}$ ．根据长方体的表面积公式：长方体表面积=2×底面积+侧面积．
  得到y与x的关系式：（ $\text{[math]}$ ）；
2. （2）列出y与x的几组对应值：（说明：表格中相关数值精确到十分位）
  x/ $\text{[math]}$
  …
  0.5
  1.0
  1.5
  2.0
  2.5
  3.0
  $\text{[math]}$
  …
  80.5
  42.0
  31.2
  ①
  28.5
  31.3
3. （3）在下面的平面直角坐标系xOy中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象：
4. （4）结合画出的函数图象，解决问题：
  长方体包装盒的底面边长约为 $\text{[math]}$ 时，需要的材料最省．
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