备考2023年中考数学压轴题训练 ——二次函数（5）

更新时间：2023-05-14 浏览次数：121 类型：三轮冲刺

一、真题

1. (2022·孝感) 抛物线y＝x²－4x与直线y＝x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D.
1. （1）直接写出点B和点D的坐标；
2. （2）如图1，连接OD，P为x轴上的动点，当tan∠PDO＝ $\text{[math]}$ 时，求点P的坐标；
3. （3）如图2，M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为m（0＜m＜5），连接MQ，BQ，MQ与直线OB交于点E.设△BEQ和△BEM的面积分别为S₁和S₂ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值.
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2. (2022·宜昌) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ .直线 $\text{[math]}$ 由直线 $\text{[math]}$ 平移得到，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ .四边形 $\text{[math]}$ 的四个顶点的坐标分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）填空： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
2. （2）若点 $\text{[math]}$ 在第二象限，直线 $\text{[math]}$ 与经过点 $\text{[math]}$ 的双曲线 $\text{[math]}$ 有且只有一个交点，求 $\text{[math]}$ 的最大值；
3. （3）当直线 $\text{[math]}$ 与四边形 $\text{[math]}$ 、抛物线 $\text{[math]}$ 都有交点时，存在直线 $\text{[math]}$ ，对于同一条直线 $\text{[math]}$ 上的交点，直线 $\text{[math]}$ 与四边形 $\text{[math]}$ 的交点的纵坐标都不大于它与抛物线 $\text{[math]}$ 的交点的纵坐标.
  ①当 $\text{[math]}$ 时，直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围；
  
  ②求 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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3. (2022·黄冈) 抛物线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于原点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于另一点 $\text{[math]}$ ，顶点为 $\text{[math]}$ .
1. （1）直接写出点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 的坐标；
2. （2）如图1，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 轴上的动点，当 $\text{[math]}$ 时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；
3. （3）如图2， $\text{[math]}$ 是点 $\text{[math]}$ 关于抛物线对称轴的对称点， $\text{[math]}$ 是抛物线上的动点，它的横坐标为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ 设 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的面积分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值.
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4. (2022·武汉) 抛物线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点（ $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的左边）， $\text{[math]}$ 是第一象限抛物线上一点，直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ .
1. （1）直接写出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点的坐标；
2. （2）如图（1），当 $\text{[math]}$ 时，在抛物线上存在点 $\text{[math]}$ （异于点 $\text{[math]}$ ），使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点到 $\text{[math]}$ 的距离相等，求出所有满足条件的点 $\text{[math]}$ 的横坐标；
3. （3）如图（2），直线 $\text{[math]}$ 交抛物线于另一点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ .求 $\text{[math]}$ 的值（用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）.
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5. (2022·十堰) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ .
1. （1）求抛物线的解析式；
2. （2）点 $\text{[math]}$ 是抛物线上一动点（不与点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 重合），作 $\text{[math]}$ 轴，垂足为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .
  ①如图1，若点 $\text{[math]}$ 在第三象限，且 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；
  
  ②直线 $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 的对称点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 轴上时，求四边形 $\text{[math]}$ 的周长.
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6. (2022·恩施) 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 $\text{[math]}$ 与y轴交于点 $\text{[math]}$ .
1. （1）直接写出抛物线的解析式.
2. （2）如图，将抛物线 $\text{[math]}$ 向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q，平移后的抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C.判断以B、C、Q三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由.
3. （3）直线BC与抛物线 $\text{[math]}$ 交于M、N两点（点N在点M的右侧），请探究在x轴上是否存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与 $\text{[math]}$ 相似，若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由.
4. （4）若将抛物线 $\text{[math]}$ 进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点时，请直接写出拋物线 $\text{[math]}$ 平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标.
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7. (2022·仙桃) 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点为A，与y轴交于点C，线段 $\text{[math]}$ 轴，交该抛物线于另一点B.
1. （1）求点B的坐标及直线 $\text{[math]}$ 的解析式：
2. （2）当二次函数 $\text{[math]}$ 的自变量x满足 $\text{[math]}$ 时，此函数的最大值为p，最小值为q，且 $\text{[math]}$ .求m的值：
3. （3）平移抛物线 $\text{[math]}$ ，使其顶点始终在直线 $\text{[math]}$ 上移动，当平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n，请直接写出n的取值范围.
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8. (2022·随州) 如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴分则点A和点 $\text{[math]}$ ，与y轴交于点C，对称轴为直线 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， P为抛物线上一动点.
1. （1）直接写出抛物线的解析式；
2. （2）如图2，连接AC，当点P在直线AC上方时，求四边形PABC面积的最大值，并求出此时P点的坐标；
3. （3）设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形PMCN为矩形？若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由.
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9. (2022·黄石) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．
1. （1） A，B，C三点的坐标为，，；
2. （2）连接 $\text{[math]}$ ，交线段 $\text{[math]}$ 于点D，
  ①当 $\text{[math]}$ 与x轴平行时，求 $\text{[math]}$ 的值；
  
  ②当 $\text{[math]}$ 与x轴不平行时，求 $\text{[math]}$ 的最大值；
3. （3）连接 $\text{[math]}$ ，是否存在点P，使得 $\text{[math]}$ ，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由．
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10. (2022·襄阳) 在平面直角坐标系中，直线y＝mx-2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D的抛物线y＝-x²+2mx-m²+2与y轴交于点C．
1. （1）如图，当m＝2时，点P是抛物线CD段上的一个动点．
  ①求A，B，C，D四点的坐标；
  ②当△PAB面积最大时，求点P的坐标；
2. （2）在y轴上有一点M（0， $\text{[math]}$ m），当点C在线段MB上时，
  ①求m的取值范围；
  ②求线段BC长度的最大值．
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二、综合题

11. (2023·天门模拟) 综合与探究：如图，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点为点D，与x轴交于点A和点B，其中B的坐标为 $\text{[math]}$ .直线l与抛物线交于B，C两点，其中点C的坐标为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求抛物线和直线l的解析式；
2. （2）直线l与抛物线的对称轴交于点E，P为线段 $\text{[math]}$ 上一动点（点P不与点B，C重合），过点P作 $\text{[math]}$ 交抛物线于点F，设点P的横坐标为t.当t为何值时，四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形？
3. （3）在（2）的条件下，设 $\text{[math]}$ 的面积为S，当t为何值时，S最大？最大值是多少？
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12. (2023·房县模拟) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，直线 $\text{[math]}$ 与抛物线在第一象限交于点 $\text{[math]}$ .
1. （1）求抛物线的解析式；
2. （2）连接 $\text{[math]}$ ，点Q是直线 $\text{[math]}$ 上不与A、B重合的点，若 $\text{[math]}$ ，请求出点Q的坐标；
3. （3）在x轴上有一动点H，平面内是否存在一点N，使以点A、H、C、N为顶点的四边形是菱形?若存在，直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由.
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13. (2023九下·荆州月考) 如图，已知抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 交x轴于点 $\text{[math]}$ ，交y轴于点C.
1. （1）直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标；
2. （2）将直线 $\text{[math]}$ 向下平移m个单位，使直线 $\text{[math]}$ 与抛物线恰好只有一个公共点，求m的值；
3. （3）在抛物线上存在点D，使 $\text{[math]}$ ，求点D的坐标.
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14. (2023·天门模拟) 如图，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知直线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于另一点 $\text{[math]}$ .
1. （1）求抛物线的解析式；
2. （2）在抛物线上是否存在一点P，使 $\text{[math]}$ ？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
3. （3）点M为直线 $\text{[math]}$ 下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当 $\text{[math]}$ 的面积最大时，求 $\text{[math]}$ 的最小值.
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15. (2023·仙桃模拟) 如图，抛物线y＝-x²+bx+c与x轴相交于A、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），顶点为D，抛物线的对称轴DF与BC相交于点E，与x轴相交于点F.
1. （1）求抛物线和直线AC的解析式；
2. （2）在抛物线上是否存在点P，使以点A、C、P为顶点的三角形是直角三角形，且AP为斜边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.
3. （3）设过E的直线与抛物线相交于点M（x₁ ， y₁），N（x₂ ， y₂），求|x₁-x₂|的最小值.
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16. (2022·黄冈模拟) 抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 左边），与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ .
1. （1）直接写出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 点的坐标；
2. （2）如图，在第三象限的抛物线上求点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ；
3. （3）如图，点 $\text{[math]}$ 为第一象限的抛物线上的一点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交抛物线于另一点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的解析式.
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17. (2023·云梦模拟) 如图1，二次函数 $\text{[math]}$ 的图像与x轴交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，与y轴交于点C.
1. （1）求二次函数的解析式；
2. （2）点P为抛物线上一动点.
  ①如图2，过点C作x轴的平行线与抛物线交于另一点D，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .当 $\text{[math]}$ 时，求点P的坐标；
  ②如图3，若点P在直线 $\text{[math]}$ 上方的抛物线上，连接 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点E，求 $\text{[math]}$ 的最大值.
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18. (2023九下·大冶月考) 如图，已知抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于A、 $\text{[math]}$ 两点，与y轴交于 $\text{[math]}$ .
1. （1）求点A的坐标；
2. （2）点P在抛物线上，若 $\text{[math]}$ ，求出点P的坐标；
3. （3）如图2，点D在线段 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 直线 $\text{[math]}$ 于点E，当 $\text{[math]}$ 时，直接写出点D的坐标.
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19. (2023九下·青山月考) 如图1，抛物线 $\text{[math]}$ 交x轴于A、B两点（A在B左侧），交y轴于点C， $\text{[math]}$ .
1. （1）求抛物线的解析式；
2. （2）如图2，点T在抛物线上，且 $\text{[math]}$ ，求点T的坐标；
3. （3）如图3，将线段 $\text{[math]}$ 绕点C逆时针旋转 $\text{[math]}$ 至 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ 轴于H，点P为 $\text{[math]}$ 的内心，直接写出 $\text{[math]}$ 的最小值 .
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20. (2023九下·仙桃会考) 如图，已知抛物线y＝x²+bx+c与x轴交于点A（2，0），B（-4，0），与y轴交于C（0，-3），连接BC.
1. （1）求抛物线的解析式；
2. （2）如图1，点P是直线BC下方抛物线上一点，过点P作PD⊥BC于点D，过点P作PE∥y轴交BC于点E，求△PDE周长的最大值及此时点P的坐标；
3. （3）如图2，将抛物线沿射线AC方向平移，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，在平移后的抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由.
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21. (2023九下·广水月考) 如图，在平面直角坐标系中，直线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线 $\text{[math]}$ 的对称轴是直线 $\text{[math]}$ ，且经过A、C两点与x轴的另一交点为B.
1. （1） ①直接写出点B的坐标；②求抛物线的解析式；
2. （2）点E为直线 $\text{[math]}$ 上方抛物线上的一动点，过点E作 $\text{[math]}$ x轴于点G，交 $\text{[math]}$ 于点D，连接 $\text{[math]}$ ，当四边形 $\text{[math]}$ 面积最大时，求出E点的坐标.
3. （3）抛物线上是否存在点M，过点M作 $\text{[math]}$ 轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相似？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由.
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