已知，如图，在△ABC中，∠A=∠ABC，直线EF分别交△ABC的边AB，AC和CB的延长线于点D，E，F．（1）求证：∠F+∠FEC=2∠A；（2）过B点作BM∥AC交FD于点M，试探究∠MBC与∠F+∠FEC的数量关系，并证明你的结论

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已知，如图，在△ABC中，∠A=∠ABC，直线EF分别交△ABC的边AB，AC和CB的延长线于点D，E，F．
（1）求证：∠F+∠FEC=2∠A；
（2）过B点作BM∥AC交FD于点M，试探究∠MBC与∠F+∠FEC的数量关系，并证明你的结论．

基础巩固能力提升变式训练拓展培优真题演练换一批

1. (2019七下·鼓楼期中) 如图，CE⊥DG，垂足为G，∠BAF=50°，∠ACE=140°．CD与AB平行吗？为什么？

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2. (2023七下·秦都期末) 小王用电脑设计图案时，先设计图案的一半，如图，然后点击对称键得到整个图案.请你在图中以直线l为对称轴，画出他设计的图案的另一半．

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3. (2021七下·黄陂期末) 如图， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的交点， $\text{[math]}$ .
求证： $\text{[math]}$ .

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1. a，b，c为同一平面内三条不同的直线，若a⊥b，c⊥b，则a与c的位置关系是.

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2. (2023七下·深圳期中) 下列说法正确的是（）
①若线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 没有交点，则 $\text{[math]}$ ．

②平行于同一条直线的两条直线互相平行．

③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．

④过直线外一点作已知直线的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到这条直线的距离．

A . ①②③④ B . ①②④ C . ②③ D . ②④

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3. (2021七下·三明期末) 如图，点P为∠AOB内一点，分别作点P关于OA，OB的对称点P₁ ， P₂ ，连接P₁P₂交OA于点M，交OB于点N，若∠P₁PP₂＝132°，则∠MPN＝.

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1. (2021·安徽模拟) 如图∠AOC=90°，且OA=OC ，点D在以OA为直径的半圆上，圆心为点P ，连接CD并延长交OA的延长线于点B ，且AB=4，∠BDA=∠BOD ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 为⊙P的切线；
2. （2）求该半圆的面积．
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2. (2023·南关模拟) 如图，在扇形AOB中，圆心角∠AOB=90°，半径OA=2．点P为 $\text{[math]}$ 上一点，连结OP，过点A作AQ⊥OP于点Q．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的长．
2. （2）当点A、Q、B在同一条直线上时，求扇形AOP的面积．
3. （3）连结BQ，则线段BQ长的最小值为．
4. （4）延长AQ，交直线OB于点C，若点Q为线段AC的三等分点，直接写出AC的长。
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3. (2022·东营模拟) 如图，已知抛物线y＝ax²+bx+3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．
1. （1）求抛物线的解析式；
2. （2）若点P为线段BC上的一动点（不与B、C重合），PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当△BCM的面积最大时，求点P的坐标；
3. （3）在（2）的条件下，当△BCM的面积最大时，点D是抛物线的对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点E，使得以A、P、D、E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
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1. (2022·威海) 小军同学想利用所学的“锐角三角函数”知识测量一段两岸平行的河流宽度．他先在河岸设立A，B两个观测点，然后选定对岸河边的一棵树记为点M．测得AB＝50m，∠MAB＝22°，∠MBA＝67°．请你依据所测数据求出这段河流的宽度（结果精确到0.1m）．
参考数据：sin22°≈ $\text{[math]}$ ， cos22°≈ $\text{[math]}$ ， tan22°≈ $\text{[math]}$ ， sin67°≈ $\text{[math]}$ ， cos67°≈ $\text{[math]}$ ， tan67°≈ $\text{[math]}$ ．

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2. (2022·娄底) 计算： $\text{[math]}$ .

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3. (2021·温州) 若扇形的圆心角为 $\text{[math]}$ ，半径为17，则扇形的弧长为.

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1. 已知，如图，在△ABC中，∠A=∠ABC，直线EF分别交△ABC的边AB，AC和CB的延长线于点D，E，F．（1）求证：∠F+∠FEC=2∠A；（2）过B点作BM∥AC交FD于点M，试探究∠MBC与∠F+∠FEC的数量关系，并证明你的结论．