（培优卷）1.3解直角三角形-2023-2024年浙教版数学...

更新时间：2023-09-10 浏览次数：47 类型：同步测试

一、选择题（每题2分，共20分）

1. (2021·南岸模拟) 如图，在纸片 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，折叠纸片，使点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ 处，折痕为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2021·绿园模拟) 如图，以O为圆心的圆与反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象交于 $\text{[math]}$ 两点，已知点B的坐标为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长度为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2021·椒江模拟) 一个矩形按如图1的方式分割成三个直角三角形，最小三角形的面积为S₁ ，把较大两个三角形纸片按图2方式放置，图2中的阴影部分面积为S₂ ，若S₂＝2S₁ ，则矩形的长宽之比（）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2023·温州) 如图，四边形ABCD内接于 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的度数与BC的长分别为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2023·金东模拟) 如图，在正六边形ABCDEF中， $\text{[math]}$ ，点O在对角线AD上， $\text{[math]}$ ，以O为圆心，OB为半径画弧，分别交AB，AF于点M，N．则 $\text{[math]}$ 的长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2023·瑞安模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，以其三边为边向外作正方形，连接 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点P，过点P作 $\text{[math]}$ 于点R.若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 10 B . 11 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2019·杭州) 如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内）.已知AB=a，AD=b，∠BCO=x，则点A到OC的距离等于（）

A . asinx+bsinx B . acosx+bcosx C . asinx+bcosx. D . acosx+bsinx

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8. (2023·合川九上期末) 如图，为了测量某建筑物 $\text{[math]}$ 的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡 $\text{[math]}$ 行走100米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米到点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为59°，建筑物底端B的俯角为 $\text{[math]}$ ，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡 $\text{[math]}$ 的坡度 $\text{[math]}$ .根据以上数据，计算出建筑物BC的高度约为（结果精确到1.参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）（）

A . 158米 B . 161米 C . 159米 D . 160米

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9. (2021·天桥模拟) 小明使用测角仪在甲楼底端A处测得熊猫C处的仰角为53°，在甲楼B处测得熊猫C处的仰角 $\text{[math]}$ 已知AB＝4.5米，则熊猫C处距离地面AD的高度为（）（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）

A . 13.6 B . 18.1 C . 17.3 D . 16.8

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10. (2021九上·杭州月考) 如图，建筑工地划出了三角形安全区 $\text{[math]}$ ，一人从 $\text{[math]}$ 点出发，沿北偏东53°方向走50m到达C点，另一人从B点出发沿北偏西53°方向走100m到达C点，则点A与点B相距（） $\text{[math]}$

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 130m

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二、填空题（每空3分，共33分）

11. (2023九上·宁波期末) 如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点E在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，取 $\text{[math]}$ 中点F，过F作 $\text{[math]}$ 且使得 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 并延长，将 $\text{[math]}$ 绕点C旋转到 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点共线且 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ .

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12. (2022九上·金华月考) 如图1，是一幅椅子和花架相互转化的实物图．放置在水平地面上的椅子示意图如图2所示，在矩形ABCD中，点E在BC上，点F，G在CD上，G是CF的中点，隔板FH∥GI∥BC，分别交DE于点H，I，现将该椅子的左边部分JCDE绕着点E顺时针旋转180°得到一个花架，如图3所示，此时点J落在地面上的点J'处，点C，H的对应点分别为点C'，H'，已知AB＝46cm，BC＝37cm，BE＝14cm，则点J离地面的距离是 cm；若点J'，C'，H'在同一直线上，tan∠AJ'C'＝6，则隔板GI的长是 cm．

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13. (2022九上·金华期中) 飞机导航系统的正常工作离不开人造卫星的信号传输（如图1）．五颗同轨道同步卫星，其位置 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，如图2所示． $\text{[math]}$ 是它们的运行轨道，弧 $\text{[math]}$ 度数为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 的距离相等， $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，已知一架飞机从 $\text{[math]}$ 飞到 $\text{[math]}$ 的直线距离为4千公里，则轨道 $\text{[math]}$ 的半径为千公里，当 $\text{[math]}$ 时，则线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的长度之和为千公里.

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14. (2023九下·衢江月考) 衢州儿童公园有摩天轮，水上乐园等娱乐设施，其中的摩天轮半径为20米，水上乐园的最高处到地面的距离为32米；如图，当摩天轮的座舱A旋转至与水上乐园最高处高度相同时，地面某观测点P与座舱A，摩天轮圆心O恰好在同一条直线上，此时测得 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的距离为米；此时另一座舱B位于摩天轮最低点，摩天轮旋转一周要12分钟，若摩天轮继续逆时针旋转一周，当从座舱A观测座舱B的俯角为45°时，经过了分钟.

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15. (2022·龙湾模拟) 如图，岸边堤坝和湖中分别伫立着甲、乙两座电线塔，甲塔底 $\text{[math]}$ 和堤坝 $\text{[math]}$ 段均与水平面 $\text{[math]}$ 平行， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点， $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米．某时刻甲塔顶 $\text{[math]}$ 影子恰好落在斜坡底端 $\text{[math]}$ 处，此时小章测得2米直立杆子的影长为1米．随后小章乘船行驶至湖面点 $\text{[math]}$ 处，发现点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点共线，并在 $\text{[math]}$ 处测得甲塔底 $\text{[math]}$ 和乙塔顶 $\text{[math]}$ 的仰角均为 $\text{[math]}$ ，则塔高 $\text{[math]}$ 的长为米；若小章继续向右行驶10米至点 $\text{[math]}$ ，且在 $\text{[math]}$ 处测得甲、乙两塔顶 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的仰角均为 $\text{[math]}$ ．若点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在同一水平线上， $\text{[math]}$ ，则甲、乙两塔顶 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的距离为米．（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

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16. (2023·鹿城模拟) 一款闭门器按如图1所示安装，支点A，C分别固定在门框和门板上，门宽 $\text{[math]}$ ，摇臂 $\text{[math]}$ ，连杆 $\text{[math]}$ ，闭门器工作时，摇臂、连杆和 $\text{[math]}$ 长度均固定不变.如图2，当门闭合时， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为cm.如图3，门板绕点O旋转，当 $\text{[math]}$ 时，点D到门框的距离 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为cm.

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三、解答题（共8题，共67分）

17. (2023·自贡) 为测量学校后山高度，数学兴趣小组活动过程如下：
1. （1）测量坡角
  如图1，后山一侧有三段相对平直的山坡 $\text{[math]}$ ，山的高度即为三段坡面的铅直高度 $\text{[math]}$ 之和，坡面的长度可以直接测量得到，要求山坡高度还需要知道坡角大小．
  如图2，同学们将两根直杆 $\text{[math]}$ 的一端放在坡面起始端A处，直杆 $\text{[math]}$ 沿坡面 $\text{[math]}$ 方向放置，在直杆 $\text{[math]}$ 另一端N用细线系小重物G，当直杆 $\text{[math]}$ 与铅垂线 $\text{[math]}$ 重合时，测得两杆夹角 $\text{[math]}$ 的度数，由此可得山坡AB坡角 $\text{[math]}$ 的度数．请直接写出 $\text{[math]}$ 之间的数量关系．
2. （2）测量山高
  同学们测得山坡 $\text{[math]}$ 的坡长依次为40米，50米，40米，坡角依次为 $\text{[math]}$ ；为求 $\text{[math]}$ ，小熠同学在作业本上画了一个含 $\text{[math]}$ 角的 $\text{[math]}$ （如图3），量得 $\text{[math]}$ ．求山高 $\text{[math]}$ ．（ $\text{[math]}$ ，结果精确到1米）
3. （3）测量改进
  由于测量工作量较大，同学们围绕如何优化测量进行了深入探究，有了以下新的测量方法．
  
  如图4，5，在学校操场上，将直杆NP置于 $\text{[math]}$ 的顶端，当 $\text{[math]}$ 与铅垂线 $\text{[math]}$ 重合时，转动直杆 $\text{[math]}$ ，使点N，P，D共线，测得 $\text{[math]}$ 的度数，从而得到山顶仰角 $\text{[math]}$ ，向后山方向前进40米，采用相同方式，测得山顶仰角 $\text{[math]}$ ；画一个含 $\text{[math]}$ 的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为 $\text{[math]}$ 厘米， $\text{[math]}$ 厘米，再画一个含 $\text{[math]}$ 的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为 $\text{[math]}$ 厘米， $\text{[math]}$ 厘米．已知杆高MN为 $\text{[math]}$ 米，求山高 $\text{[math]}$ ．（结果用不含 $\text{[math]}$ 的字母表示）
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18. (2023·金华模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .点D是直线 $\text{[math]}$ 上一动点.过点D作 $\text{[math]}$ ，满足点E在 $\text{[math]}$ 上方， $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为邻边作 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的长以及点C到 $\text{[math]}$ 的距离；
2. （2）设线段 $\text{[math]}$ 与边 $\text{[math]}$ 交于点M，线段 $\text{[math]}$ 与边 $\text{[math]}$ 交于点N.当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长；
3. （3）连接 $\text{[math]}$ ，沿直线 $\text{[math]}$ 分割 $\text{[math]}$ ，当分割的两部分可以拼成一个不重叠无缝隙的三角形时，求 $\text{[math]}$ 的长.
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19. (2023九下·兴化月考) 如图，光从空气斜射入水中，入射光线 $\text{[math]}$ 射到水池的水面 $\text{[math]}$ 点后折射光线 $\text{[math]}$ 射到池底点 $\text{[math]}$ 处，入射角 $\text{[math]}$ ，折射角 $\text{[math]}$ ；入射光线 $\text{[math]}$ 射到水池的水面 $\text{[math]}$ 点后折射光线 $\text{[math]}$ 射到池底点 $\text{[math]}$ 处，入射角 $\text{[math]}$ ，折射角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为法线 $\text{[math]}$ 入射光线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 和折射光线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 及法线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 都在同一平面内，点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ 米．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的长； $\text{[math]}$ 结果保留根号 $\text{[math]}$
2. （2）如果 $\text{[math]}$ 米，求水池的深 $\text{[math]}$ 参考数据： $\text{[math]}$ 取 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 取 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 取 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 取 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 取 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 取 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 取 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 取 $\text{[math]}$
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20. (2022·定海模拟) 为了监控危险路段的车辆行驶情况，通常会设置电子眼进行区间测速.如图电子眼位于点P处，离地面的铅垂高度PQ为11米；离坡AB的最短距离是11.2米，坡AB的坡比为3：4；电子眼照射在A 处时，电子眼的俯角为30°，电子眼照射在坡角点B处时，电子眼的俯角为70°.（A、B、P、Q在同一平面内）
1. （1）求路段BQ的长；（sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
2. （2）求路段AB的长；（ $\text{[math]}$ ≈1.7，结果保留整数）
3. （3）如图的这辆车看成矩形KLNM，车高2米，当PA过M点时开始测速，PB过M点时结束测速，若在这个测速路段车辆所用的时间是1.5秒.该路段限速5米/秒，计算说明该车是否超速？
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21. (2022·冠县模拟) 如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，无人机测得操控者A的俯角为 $\text{[math]}$ ，测得小区楼房 $\text{[math]}$ 顶端点C处的俯角为 $\text{[math]}$ ．已知操控者A和小区楼房 $\text{[math]}$ 之间的距离为45米，小区楼房 $\text{[math]}$ 的高度为 $\text{[math]}$ 米．
1. （1）求此时无人机的高度；
2. （2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于 $\text{[math]}$ 的方向，并以5米/秒的速度继续向前匀速飞行．问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？（假定点A，B，C，D都在同一平面内．参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．计算结果保留根号）
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22. (2020·铁岭模拟) 小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，她在底板下面垫入散热架ACO＇后，电脑转到AO＇B＇位置（如图3），侧面示意图为图4.已知OA=OB=24cm，O＇C⊥OA于点C，O＇C=12cm.
1. （1）求∠CAO＇的度数.
2. （2）显示屏的顶部B＇比原来升高了多少？
3. （3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏O＇B＇与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O＇B＇应绕点O＇按顺时针方向旋转多少度？
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23. (2022九下·衢州开学考) 爱好思考的小实在探究两条直线的位置关系查阅资料时发现，两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，如图1、图2、图3中，AF、BE是△ABC的中线，AF⊥BE于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”，设BC＝a，AC＝b，AB＝c.
1. （1）【特例探究】
  ①如图1，当tan∠PAB＝1， $\text{[math]}$ 时，a＝，b＝.
  
  ②如图2，当∠PAB＝30°，c＝4时，a＝，b＝.
2. （2）【归纳证明】
  请你观察（1）中的计算结果，猜想 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论.
3. （3）【拓展证明】
  如图4，在△ABC中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，连结DE并延长至点G，使得GE＝DE，连结BG.若BG⊥AC于点M时，求GF的长.
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24. (2023·锦州) 【问题情境】如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．点D在边 $\text{[math]}$ 上将线段 $\text{[math]}$ 绕点D顺时针旋转得到线段 $\text{[math]}$ （旋转角小于 $\text{[math]}$ ），连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为底边在其上方作等腰三角形 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）【尝试探究】
  如图1，当 $\text{[math]}$ 时，易知 $\text{[math]}$ ；
  如图2，当 $\text{[math]}$ 时，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系为；
2. （2）如图3，写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系（用含α的三角函数表示）．并说明理由；
3. （3）【拓展应用】
  如图4，当 $\text{[math]}$ ，且点B ， E ， F三点共线时．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 的长．
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