古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的圆”，请研究如下美丽的圆，如图，Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝3，BC＝4，点O在线段BC上，且OC＝，以O为圆心.OC为半径的⊙O交线段AO于点D，交线段AO的延长线于点E

1. (2020·黔南) 古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的圆”，请研究如下美丽的圆，如图，Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝3，BC＝4，点O在线段BC上，且OC＝ $\text{[math]}$ ，以O为圆心.OC为半径的⊙O交线段AO于点D，交线段AO的延长线于点E.
1. （1）求证：AB是⊙O的切线；
3. （2）研究过短中，小明同学发现 $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ，回答小明同学发现的结论是否正确？如果正确，给出证明；如果不正确，说明理由.

能力提升真题演练换一批

1. (2021·汉滨模拟) 如图，AB是⊙O的弦，C为⊙O上一点，过点C作AB的垂线与AB的延长线交于点D，连接BO并延长，与⊙O交于点E，连接EC， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证：CD是⊙O的切线；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求AB的长．
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2. (2021·泰州) 如图，在⊙O中，AB为直径，P为AB上一点，PA＝1，PB＝m（m为常数，且m＞0）.过点P的弦CD⊥AB，Q为 $\text{[math]}$ 上一动点（与点B不重合），AH⊥QD，垂足为H.连接AD、BQ.
1. （1）若m＝3.
  ①求证：∠OAD＝60°；
  
  ②求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）用含m的代数式表示 $\text{[math]}$ ，请直接写出结果；
3. （3）存在一个大小确定的⊙O，对于点Q的任意位置，都有BQ²﹣2DH²+PB²的值是一个定值，求此时∠Q的度数.
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3. (2022·颍州模拟) 如图①，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点P为对角线 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）如图②，过P点作 $\text{[math]}$ ，交射线 $\text{[math]}$ 于点E．求证： $\text{[math]}$ ；
3. （3）在图③中，过P点作 $\text{[math]}$ ，交射线 $\text{[math]}$ 于点E，猜想线段 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并证明你的猜想．
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1. (2021·丹东) 如图，已知点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 过点B交y轴于点C ，交x轴于点D ，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点A、C、D ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线的表达式；
2. （2）判断 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由；
3. （3） E为直线 $\text{[math]}$ 上方的抛物线上一点，且 $\text{[math]}$ ，求点E的坐标；
4. （4） N为线段 $\text{[math]}$ 上的动点，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段 $\text{[math]}$ 运动到点N ，再以每秒 $\text{[math]}$ 个单位长度的速度沿线段 $\text{[math]}$ 运动到点C ，又以每秒1个单位长度的速度沿线段 $\text{[math]}$ 向点O运动，当点P运动到点O后停止，请直接写出上述运动时间的最小值及此时点N的坐标．
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2. (2022·襄阳) 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．
1. （1）作∠ACB的角平分线，交AB于点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
2. （2）求证：AD＝AE．
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3. (2021·巴中) 学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯B的位置如图所示，已知坡长AC＝12m，坡角α为30°，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角β为27°，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端C处，且与地面的夹角为60°，A、B、C、D在同一平面上.（结果精确到0.1m.参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.50， $\text{[math]}$ 1.73.）
1. （1）求灯杆AB的高度；
2. （2）求CD的长度.
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