已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，过点B在∠ABC内作线段BD交AC于点E，过点C作CD⊥BD.

1. (2019九上·万州期末) 已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，过点B在∠ABC内作线段BD交AC于点E，过点C作CD⊥BD.
1. （1）如图1所示，若∠ABD＝30°，AB＝3，求ED.
3. （2）如图2所示，若线段BD平分∠ABC，连接AD，求证：AD＝CD.
5. （3）如图3所示，连接AD，求证：BD＝CD+ $\text{[math]}$ AD.

能力提升真题演练换一批

1. (2022九上·萧山开学考) 已知正方形 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是射线 $\text{[math]}$ 上一动点 $\text{[math]}$ 不与 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 重合 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 并延长交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上，如图 $\text{[math]}$ ．
  $\text{[math]}$ 证明： $\text{[math]}$ ；
  
  $\text{[math]}$ 猜想线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的关系并说明理由；
2. （2）取 $\text{[math]}$ 中点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，正方形边长为6，求 $\text{[math]}$ 的长．
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2. (2021九上·乌拉特前旗期末) 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数y＝ $\text{[math]}$ 的图象交于C、D两点，DE⊥x轴于点E，已知C点的坐标是（6，-1），DE＝3
1. （1）求反比例函数与一次函数的解析式．
2. （2）求△DOC的面积．
3. （3）根据图象直接回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？
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3. (2022九上·晋江期末) 对于平面直角坐标系中的两个图形K₁和K₂ ，给出如下定义：点G为图形K₁上任意一点，点H为K₂图形上任意一点，如果G，H两点间的距离有最小值，则称这个最小值为图形K₁和K₂的“近距离”。如图1，已知△ABC，A（-1，-8），B（9，2），C（-1，2），边长为 $\text{[math]}$ 的正方形PQMN，对角线NQ平行于x轴或落在x轴上.
1. （1）填空：
  ①原点O与线段BC的“近距离”为；
  ②如图1，正方形PQMN在△ABC内，中心O’坐标为（m，0），若正方形PQMN与△ABC的边界的“近距离”为1，则m的取值范围为；
2. （2）已知抛物线C： $\text{[math]}$ ，且-1≤x≤9，若抛物线C与△ABC的“近距离”为1，求a的值；
3. （3）如图2，已知点D为线段AB上一点，且D（5，-2），将△ABC绕点A顺时针旋转α（0°<α≤180°），将旋转中的△ABC记为△AB’C’，连接DB’，点E为DB’的中点，当正方形PQMN中心O’坐标为（5，-6），直接写出在整个旋转过程中点E运动形成的图形与正方形PQMN的“近距离”.
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1. (2022·台州) 图1中有四条优美的“螺旋折线”，它们是怎样画出来的呢？如图2，在正方形 ABCD 各边上分别取点 B_1，C₁ ， D₁ ， A₁ ，使 AB₁=BC₁=CD₁=DA₁= $\text{[math]}$ AB，依次连接它们，得到四边形A₁B₁C₁D₁ ；再在四边形A₁B₁C₁D₁各边上分别取点 B₂ ， C₂ ， D₂ ， A₂ ，使A₁B₂=B₁C₂=C₁D₂=D₁A₂= $\text{[math]}$ A₁B₁ ，依次连接它们，得到四边形 A₂B₂C₂D₂ ；…如此继续下去，得到四条螺旋折线．
1. （1）求证：四边形A₁B₁C₁D₁ 是正方形；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）请研究螺旋折线BB₁B₂B₃ …中相邻线段之间的关系，写出一个正确结论并加以证明．
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2. (2021·杭州) 如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，AE⊥BC于点E。已知∠ABC=60°，∠C=45°。
1. （1）求证：AB=BD；
2. （2）若AE=3，求△ABC的面积。
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3. (2022·龙东) 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，M为BC的中点，OA、OB的长分别是一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个根 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，动点P从点D出发以每秒1个单位长度的速度沿折线 $\text{[math]}$ 向点B运动，到达B点停止．设运动时间为t秒， $\text{[math]}$ 的面积为S．
1. （1）求点C的坐标；
2. （2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
3. （3）在点P的运动过程中，是否存在点P，使 $\text{[math]}$ 是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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重庆市万州区江南新区联盟2019届九年级上学期数学期末考试试卷

1. (2019九上·万州期末) 已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，过点B在∠ABC内作线段BD交AC于点E，过点C作CD⊥BD.

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