沪科版数学八年级上册第14章全等三角形判定及性质综合题（拓展...

更新时间：2023-11-24 浏览次数：53 类型：同步测试

一、手拉手模型

1. (2021八上·铜官期末) 如图， $\text{[math]}$ 是边长为2的等边三角形， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 延长线上一点，以 $\text{[math]}$ 为边作等边三角形 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的度数.
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的值.
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2. (2022八上·淮北月考) 在等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点D在 $\text{[math]}$ 上，延长 $\text{[math]}$ 至点E，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，
  ①如图1，求证： $\text{[math]}$ ；
  
  ②如图2，将 $\text{[math]}$ 绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，使点A，D，E三点在一条直线上，判定 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由．
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，如图3，（1）中①的结论是否成立？若不成立，请给出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系；若成立，请给出证明．
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3. (2021八上·蚌埠期末) 已知△ABC与ΔADE均为等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在直线BC上．
1. （1）如图1，当点D在CB延长线上时，求证：BE⊥CD；
2. （2）如图2，当D点不在直线BC上时， BE、CD相交于M，
  ①直接写出∠CME的度数；
  ②求证：MA平分∠CME
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4. (2021八上·肥西期末) 在 $\text{[math]}$ ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作 $\text{[math]}$ ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
1. （1）如图，当点D在BC延长线上移动时，若∠BAC＝26°，则∠DCE＝．
2. （2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．
  ①当点D在BC延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由；
  ②当点D在直线BC上（不与B，C两点重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论．
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5. (2021八上·包河期末) 在等腰△ABC中，AB=AC，点D是AC上一动点，点E在BD的延长线上，且AB=AE，AF平分∠CAE交DE于点F，连接FC．
1. （1）如图1，求证：∠ABE=∠ACF；
2. （2）如图2，当∠ABC=60°时，在BE上取点M，使BM=EF，连接AM．求证：△AFM是等边三角形；
3. （3）如图3，当∠ABC=45°，且AE $\text{[math]}$ BC时，求证：BD=2EF．
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6. (2021八上·蚌埠期末) 如图，在△ABC和△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，DC＝EC．过点C作CF⊥DE交DE于点F．
1. （1）如图1，当点B、E、D在同一条线上时，
  ①求证： $\text{[math]}$ ；
  ②求∠BDA的度数；
2. （2）如图2，连接AF并延长至点G，使AF＝GF，连接GE、GB，试判断△BEG形状，并说明理由．
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二、动态几何全等模型

7. (2023八下·潜山期末) 如图， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点C， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点P从点A出发，沿 $\text{[math]}$ 方向以 $\text{[math]}$ 的速度运动，点Q从点D出发，沿 $\text{[math]}$ 方向以 $\text{[math]}$ 的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P回到点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ．
2. （2）写出线段 $\text{[math]}$ 的长（用含t的式子表示）．
3. （3）连接 $\text{[math]}$ ，当线段 $\text{[math]}$ 经过点C时，求t的值．
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8. (2020八上·肥东期末) 如图，已知 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点．如果点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上以 $\text{[math]}$ 的速度由点 $\text{[math]}$ 向 $\text{[math]}$ 点运动，同时，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上由 $\text{[math]}$ 点向 $\text{[math]}$ 点运动，设点 $\text{[math]}$ 运动的时间为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）用含 $\text{[math]}$ 的式子表示 $\text{[math]}$ 的长为；
2. （2）若点 $\text{[math]}$ 的运动速度与点 $\text{[math]}$ 的运动速度相等，经过 $\text{[math]}$ 秒后， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是否全等？请说明理由；
3. （3）若点 $\text{[math]}$ 的运动速度与点 $\text{[math]}$ 的运动速度不相等，当点 $\text{[math]}$ 的运动速度为多少时，能够使 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 全等？
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9. (2021八上·丹阳期末) 某校机器人兴趣小组在如图所示的三角形场地上开展训练.已知： $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ；机器人从点 $\text{[math]}$ 出发，沿着 $\text{[math]}$ 边按 $\text{[math]}$ 的方向匀速移动到点 $\text{[math]}$ 停止；机器人移动速度为每秒 $\text{[math]}$ 个单位，移动至拐角处调整方向需要 $\text{[math]}$ 秒（即在 $\text{[math]}$ 处拐弯时分别用时 $\text{[math]}$ 秒）.设机器人所用时间为 $\text{[math]}$ 秒时，其所在位置用点 $\text{[math]}$ 表示（机器人大小不计）.
1. （1）点 $\text{[math]}$ 到边 $\text{[math]}$ 的距离是；
2. （2）是否存在这样的时刻，使 $\text{[math]}$ 为等腰三角形？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由.
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10. (2021八上·阜阳期中) 如图（1）， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 垂足分别为A、B ， $\text{[math]}$ ．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．
1. （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当 $\text{[math]}$ 时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；
2. （2）如图（2），若“ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ”改为“ $\text{[math]}$ ”，点Q的运动速度为x cm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值．
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三、一线三等角模型

11. (2022八上·利辛月考) 已知：∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CM，BE⊥CM，垂足分别为D，E．
1. （1）如图1，①线段CD和BE的数量关系是 ▲ ；②请写出线段AD，BE，DE之间的数量关系并证明．
2. （2）如图2，上述结论②还成立吗？如果不成立，请写出线段AD，BE，DE之间的数量关系并证明．
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12. (2021八上·庐阳期末) 如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）如图2，若点O为 $\text{[math]}$ 的中点，连接DO，EO，判断 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由．
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13. (2020八上·庐阳月考) 如图所示，回答下列问题
1. （1）如图1，在 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ⊥直线 $\text{[math]}$ ，垂足分别为点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．证明： $\text{[math]}$ ．
2. （2）如图2，将（1）中的条件改为：在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三点都在直线 $\text{[math]}$ 上，并且有 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为任意锐角或钝角．请问结论 $\text{[math]}$ 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
3. （3）拓展与应用：如图3， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三点所在直线 $\text{[math]}$ 上的两动点（ $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三点互不重合），点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 平分线上的一点，且 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均为等边三角形，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，试判断 $\text{[math]}$ 的形状，并求出 $\text{[math]}$ 的长．
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14. (2020八上·石台期末) 利用“同角的余角相等”可以帮助我们得到相等的角，这个规律在全等三角形的判定中有着广泛的运用．
1. （1）如图①， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点共线， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．
2. （2）如图②，在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ 为等腰直角三角形，直角顶点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ．求直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的交点坐标．
3. （3）如图③， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 坐标为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 坐标为 $\text{[math]}$ ．则 $\text{[math]}$ ．（只需写出结果，用含 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的式子表示）
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四、倍长中线模型

15. (2023八上·合川期末) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边的中线，E为 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于点F，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为.

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16. (2021八上·芜湖期中)
1. （1）阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8，求AC边上的中线BD的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE＝BD，连结CE．利用全等将边AB转化到CE，在△BCE中利用三角形三边关系即可求出中线BD的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是；中线BD的取值范围是．
2. （2）问题解决：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，点M在AB边上，点N在BC边上，若DM⊥DN，求证：AM＋CN＞MN．
3. （3）问题拓展：如图3，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中∠ABM＝∠NBC＝90°，连接MN，探索BD与MN的关系，并说明理由．
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17. (2023八下·齐齐哈尔期中)
1. （1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
  
  如图 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 边上的中线 $\text{[math]}$ 的取值范围．
  小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 $\text{[math]}$ 至点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．
  请根据小明的方法思考：
  由已知和作图能得到 $\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ ，依据是．
  A. $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$
  由“三角形的三边关系”可求得 $\text{[math]}$ 的取值范围是．
2. （2）【初步运用】
  如图 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中线， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长．
3. （3）【灵活运用】
  如图 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 试猜想线段 $\text{[math]}$ 三者之间的数量关系，并证明你的结论．
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五、角平分线模型

18. (2020八上·肥东期末) 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的角平分线.

图1 图2
1. （1）如图1， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，请直接写出图中所有与 $\text{[math]}$ 相等的线段.
2. （2）如图2， $\text{[math]}$ ，如果 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .
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19. (2023八下·平遥期中) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，垂足为点E ．若 $\text{[math]}$ 的面积为16， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为（　　）

A . 2 B . 3 C . 4 D . 6

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六、直角三角形判定HL

20. (2020八上·铜陵月考) 已知 $\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）将 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 按图①方式摆放，使 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交线段 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．试判断线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并证明你的结论；
2. （2）将 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 按图②方式摆放，延 $\text{[math]}$ 交线段 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．请直接写出 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间的数量关系．
3. （3）将 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 按图③方式摆放，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ．请直接写出线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间的数量关系：．
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七、其他综合

21. (2020八上·马鞍山期末) 已知：任意一个三角形的三条角平分线都交于一点．如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别平分 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作直线分别交 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，解答下列问题：
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．
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22. (2022八上·安徽期末) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， D是 $\text{[math]}$ 的中点，E是 $\text{[math]}$ 延长线上一点， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于F， $\text{[math]}$ 的延长线交 $\text{[math]}$ 的延长线于点G，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数．
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23. (2022八上·淮北月考) 如图，在 $\text{[math]}$ 中，点D是 $\text{[math]}$ 延长线上一点，过点D作 $\text{[math]}$ 于点F，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点E，交 $\text{[math]}$ 的平分线于点N，点M为 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的交点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的度数；
2. （2）证明： $\text{[math]}$ .
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24. (2022八上·蚌山月考) 如图，在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）试判断线段BN与CM的数量关系，并加以证明．
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25. (2023八上·蜀山期末) 如图 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， D是 $\text{[math]}$ 边上一点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 垂足为点C，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交线段 $\text{[math]}$ 于点F．
1. （1）在图1中画出正确的图形，并证明 $\text{[math]}$ ；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，求证： $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ．
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26. (2021八上·桐城期末) 如图，在四边形ABCD中，∠BAE=∠ACD=90°，BC=CE．
1. （1） ∠BAC与∠D相等吗?为什么?
2. （2） E点在AD边上，若∠BCE=90°，试判断△ACD的形状，并说明理由．
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