2023年中考数学探究性试题复习8 一元一次方程

更新时间：2023-05-20 浏览次数：107 类型：三轮冲刺

一、填空题

1. (2023七上·玉林期末) 一般情况下 $\text{[math]}$ ＋ $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ 不成立，但有数可以使得它成立.例如a＝b＝0.我们称使得 $\text{[math]}$ ＋ $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ 成立的一对数a、b为“相伴数对”，记为（a，b）.若（a，2）为“相伴数对”，则a的值为.

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2. (2023七上·益阳期末) 对于任意四个有理数 $\text{[math]}$ 可以组成两个有理数对 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ .我们规定： $\text{[math]}$ .例如： $\text{[math]}$ .当满足等式 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的值为.

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3. (2023七上·通川期末) 在一元一次方程中，如果两个方程的解相同，则称这两个方程为同解方程．方程 $\text{[math]}$ 与方程 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 填“是”或“不是” $\text{[math]}$ 同解方程；若关于 $\text{[math]}$ 的两个方程 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是同解方程， $\text{[math]}$ ；若关于 $\text{[math]}$ 的两个方程 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是同解方程， $\text{[math]}$ ．

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二、综合题

4. (2022七上·赵县期末) 定义：若a+b=2，则称a与b是关于2的平衡数．
1. （1） 3与是关于2的平衡数，7-x与是关于2的平衡数． (填一个含x的代数式)
2. （2）若a=x²-4x-1，b=x²-2(x²-2x-1)+1，判断a与b是否是关于2的平衡数，并说明理由．
3. （3）若c=kx+1，d=x-3，且c与d是关于2的平衡数，若x为正整数，求非负整数k的值．
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5. (2023七下·义乌开学考) 给定一列数，我们把这列数中的第一个数记为 $\text{[math]}$ ，第二个数记为 $\text{[math]}$ ，第三个数记为 $\text{[math]}$ ，依此类推，第n个数记为 $\text{[math]}$ （n为正整数），如下面这列数2，4，6，8，10中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .规定运算 $\text{[math]}$ .即从这列数的第一个数开始依次加到第n个数，如在上面的一列数中， $\text{[math]}$ .
1. （1）已知一列数1， $\text{[math]}$ ， 3， $\text{[math]}$ ， 5， $\text{[math]}$ ， 7， $\text{[math]}$ ， 9， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
2. （2）已知这列数1， $\text{[math]}$ ， 3， $\text{[math]}$ ， 5， $\text{[math]}$ ， 7， $\text{[math]}$ ， 9， $\text{[math]}$ ， …，按照规律可以无限写下去，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
3. （3）在（2）的条件下否存在正整数n使等式 $\text{[math]}$ 成立？如果有，写出n的值，如果没有，说明理由.
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6. (2023七上·武义期末) 已知一列，数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …，具有以下规律： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
例：若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ， …

请认真阅读上面的运算推理过程，完成下面问题.
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求下列两个问题.
  ① $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
  
  ②在数轴上点A所表示的数为 $\text{[math]}$ ，点B所表示的数为 $\text{[math]}$ ，求线段AB的长.
2. （2）已知 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.
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7. (2023七上·长兴期末) 阅读材料：
我们定义：如果两个实数的和等于这两个实数的积，那么这两个实数就叫做“和积等数对”，即：如果 $\text{[math]}$ ，那么a与b就叫做“和积等数对”，记为 $\text{[math]}$ .
例如： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
则称数对 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是“和积等数对”.
根据上述材料，解决下列问题：
1. （1）下列数对中，“和积等数对”是 $\text{[math]}$ 填序号 $\text{[math]}$ ；
  ① $\text{[math]}$ ； ② $\text{[math]}$ ； ③ $\text{[math]}$ .
2. （2）如果 $\text{[math]}$ 是“和积等数对”，请求出x的值；
3. （3）如果 $\text{[math]}$ 是“和积等数对”，那么m=（用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示）.
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8. (2023七上·宁海期末) 【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．研究数轴时，我们发现有许多重要的规律：若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离 $\text{[math]}$ ，线段AB的中点表示的数为 $\text{[math]}$ ．
【知识应用】

如图，在数轴上，点A表示的数为5，点B表示的数为3，点C表示的数为－2，点P从点C出发，以每秒2个单位沿数轴向右匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0），根据以上信息，回答下列问题：
1. （1）填空：
  ①A，C两点之间的距离 $\text{[math]}$ ，线段BC的中点表示的数为．
  
  ②用含t的代数式表示：t秒后点P表示的数为．
2. （2）若点M为PA的中点，当t为何值时， $\text{[math]}$ ．
3. （3）【拓展提升】
  在数轴上，点D表示的数为9，点E表示的数为6，点F表示的数为－4，点G从点D，点H从点E同时出发，分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度沿数轴的负方向运动，且当它们各自到达点F时停止运动，设运动时间为t秒，线段GH的中点为点K，当t为何值时， $\text{[math]}$ ．
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9. (2023七下·开福开学考) 定义：对于一个有理数x，我们把[x]称作x的“牛牛”数；“牛牛”数的作用：
若x＞0，则[x]＝x-2；若x＜0，则[x]＝x+2，规定[0]＝0
例：[1]＝1-2＝-1，[-2]＝-2+2＝0．
1. （1）求[ $\text{[math]}$ ]，[-1]的值；
2. （2）已知有理数a＞0，b＜0，且满足[a]＝[b]，试求代数式（b-a）³-4a+4b的值．
3. （3）解方程：[2x]+[x+1]＝1．
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10. (2023七上·义乌期末) 已知 $\text{[math]}$ 为不相等的实数，且 $\text{[math]}$ 均不为 $\text{[math]}$ ，现定义有序实数对 $\text{[math]}$ 的“真诚值”为： $\text{[math]}$ ，如数对 $\text{[math]}$ 的“真诚值”为： $\text{[math]}$ ，数对 $\text{[math]}$ 的“真诚值”为： $\text{[math]}$ .
1. （1）根据上述的定义填空： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
2. （2）数对 $\text{[math]}$ 的“真诚值” $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.
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11. (2022七上·平谷期末) 如果两个方程的解相差k，且k为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“k—后移方程”．
例如：方程 $\text{[math]}$ 的解是 $\text{[math]}$ ，方程 $\text{[math]}$ 的解是 $\text{[math]}$
所以：方程 $\text{[math]}$ 是方程 $\text{[math]}$ 的“2—后移方程”．
1. （1）判断方程 $\text{[math]}$ 是否为方程 $\text{[math]}$ 的k—后移方程（填“是”或“否”）；
2. （2）若关于x的方程 $\text{[math]}$ 是关于 x 的方程 $\text{[math]}$ 的“2—后移方程”，求n的值
3. （3）当 $\text{[math]}$ 时，如果方程 $\text{[math]}$ 是方程 $\text{[math]}$ 的“3—后移方程”求代数式 $\text{[math]}$ 的值．
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12. (2023七上·通川期末) 阅读下面的材料：我们知道，在数轴上， $\text{[math]}$ 表示有理数 $\text{[math]}$ 对应的点到原点的距离，同样的道理， $\text{[math]}$ 表示有理数 $\text{[math]}$ 对应的点到有理数2对应的点的距离，例如， $\text{[math]}$ ，表示数轴上有理数5对应的点到有理数2对应的点的距离是3．
请根据上面的材料解答下列问题：
1. （1）请用上面的方法计算数轴上有理数-9对应的点到有理数3对应的点的距离；
2. （2）填空： $\text{[math]}$ 表示与理数 $\text{[math]}$ 对应的点与有理数对应的点的距离；如果 $\text{[math]}$ ，那么有理数 $\text{[math]}$ 的值是；
3. （3）填空：如果 $\text{[math]}$ ，那么有理数 $\text{[math]}$ 的值是．
4. （4）是否存在有理数 $\text{[math]}$ ，使等式 $\text{[math]}$ 的结果等于4？如果存在，请直接写出 $\text{[math]}$ 的值；如果不存在，请说明原因．
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13. (2023七上·拱墅期末) 数学家欧拉最先把关于x的多项式用记号f（x）来表示.例如：f（x）＝x²+x-1，当x＝a时.多项式的值用f（a）来表示，即f（a）＝a²+a-1.当x＝3时，f（3）＝3²+3-1＝11.
1. （1）已知f（x）＝x²-2x+3，求f（1）的值.
2. （2）已知f（x）＝mx²-2x-m，当f（-3）＝m-1时，求m的值.
3. （3）已知f（x）＝kx²-ax-bk（a.b为常数），对于任意有理数k，总有f（-2）＝-2，求a，b的值.
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14. (2022七上·凤凰月考) 阅读理解：在解形如 $\text{[math]}$ 这类含有绝对值的方程时，
解法一：我们可以运用整体思想来解.移项得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ .
解法二：运用分类讨论的思想，根据绝对值的意义分 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 两种情况讨论：
①当 $\text{[math]}$ 时，原方程可化为 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，符合 $\text{[math]}$ ；
②当 $\text{[math]}$ 时，原方程可化为 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，符合 $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$ 原方程的解为 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ .
解题回顾：本解法中2为 $\text{[math]}$ 的零点，它把数轴上的点所对应的数分成了 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 两部分，所以分 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 两种情况讨论.
问题：结合上面阅读材料，解下列方程：
1. （1）解方程： $\text{[math]}$
2. （2）解方程： $\text{[math]}$
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15. (2022七上·凤凰月考) 定义：若整数k的值使关于x的方程 $\text{[math]}$ 的解为整数，则称k为此方程的“友好系数”.
1. （1）判断当 $\text{[math]}$ 时是否为方程 $\text{[math]}$ 的“友好系数”，写出判断过程；
2. （2）方程 $\text{[math]}$ “友好系数”的个数是有限个数，还是无穷多？如果是有限个数，求出此方程的所有“友好系数”；如果是无穷多，说明理由.
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16. (2022七上·浉河月考) 定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”.例如：方程 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 为“美好方程”.
1. （1）方程 $\text{[math]}$ 与方程 $\text{[math]}$ 是“美好方程”吗？请说明理由；
2. （2）若关于x的方程 $\text{[math]}$ 与方程 $\text{[math]}$ 是“美好方程”，求m的值；
3. （3）若关于x方程 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是“美好方程”，求n的值.
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17. (2022七上·荣县月考) 数学巨人欧拉最先把关于x的多项式用记号 $\text{[math]}$ 来表示，例如 $\text{[math]}$ ，并把x等于某数时多项式的值用f（某数）来表示，例如 $\text{[math]}$ 时多项式 $\text{[math]}$ 的值记为 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ， ①求 $\text{[math]}$ 的值；②若 $\text{[math]}$ ，求x的值
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，试探究 $\text{[math]}$ 的最小值，并指出此时x的取值范围.
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18. (2022七上·大竹期末) 探究题：阅读下列材料，规定一种运 $\text{[math]}$ ，例如 $\text{[math]}$ ，再如 $\text{[math]}$ ，按照这种运算的规定，请解答下列问题：
1. （1） $\text{[math]}$ .（只填结果）；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求x的值.（写出解题过程）
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19. (2022·义乌期中) 东东在研究数学问题时遇到一个定义：将三个已经排好顺序数：x₁ ， x₂ ， x₃ ，称为数列x₁ ， x₂ ， x₃ ，计算|x₁|， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将这三个数的最小值称为数列x₁ ， x₂ ， x₃的最佳值．例如对于数列2，−1，3，因为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，所以数列2，−1，3的最佳值为 $\text{[math]}$ ．
东东进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的最佳值．如数列−1，2，3的最佳值为 $\text{[math]}$ ；数列3，−1，2的最佳值为1；…，经过研究，东东发现，对于“2，−1，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，最佳值的最小值为 $\text{[math]}$ ．根据以上材料，回答下列问题：
1. （1）数列−5，−4，3的最佳值为
2. （2）将“−5，−4，3”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列的最佳值的最小值为，取得最佳值最小值的数列为（写出一个即可）；
3. （3）将2，-8，a（a>1）这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的最佳值的最小值为1，求a的值．
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