山东省潍坊市2022届高三下学期数学高中学科核心素养测评试卷

更新时间：2022-07-05 浏览次数：95 类型：高考模拟

一、单选题

1. 如图，已知全集 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则图中阴影部分表示的集合中，所包含元素的个数为（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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2. (2020高二上·运城期末) “ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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3. 设函数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 10 B . 9 C . 7 D . 6

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4. 某品牌暖水瓶的内胆规格如图所示，分为①②③④四个部分（水瓶内胆壁厚不计），它们分别为一个半球，一个大圆柱，一个圆台和一个小圆柱．若其中圆台部分的体积为 $\text{[math]}$ cm³ ，且水瓶灌满水后盖上瓶塞时水溢出 $\text{[math]}$ cm³ ，则盖上瓶塞后水瓶的最大盛水量为（）

A . $\text{[math]}$ cm³ B . $\text{[math]}$ cm³ C . $\text{[math]}$ cm³ D . $\text{[math]}$ cm³

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5. 关于x的不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，则实数a的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. $\text{[math]}$ 除以7的余数是（）

A . 0 B . 1 C . 2 D . 3

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7. 已知椭圆E： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的右顶点为A，直线 $\text{[math]}$ 交E于第一象限内的点B．点C在E上，若四边形OABC为平行四边形，则（）

A . 若k越大，则E的长轴越长 B . 若k越大，则E越扁 C . 若 $\text{[math]}$ ，则E的离心率为 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则E的离心率最大

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8. 如图，在边长为a的等边三角形ABC中，圆D₁与△ABC相切，圆D₂与圆D₁相切且与AB，AC相切，…，圆Dn+₁与圆Dn相切且与AB，AC相切，依次得到圆D₃ ， D₄ ， …，Dn．设圆D₁ ， D₂ ， …，Dn的面积之和为 $\text{[math]}$ ，（ $\text{[math]}$ ），则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. 已知复数z满足 $\text{[math]}$ ，且复数z对应的点在第一象限，则下列结论正确的是（）

A . 复数z的虚部为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 复数z的共轭复数为 $\text{[math]}$

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10. 已知事件 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则一定有（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 如图，在棱长为3的正方体 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 是平面 $\text{[math]}$ 内一个动点，且满足 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . 点 $\text{[math]}$ 的轨迹是一个半径为 $\text{[math]}$ 的圆 C . 直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角为 $\text{[math]}$ D . 三棱锥 $\text{[math]}$ 体积的最大值为 $\text{[math]}$

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12. 我们约定双曲线 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 为相似双曲线，其中相似比为 $\text{[math]}$ .则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 的离心率相同，渐近线也相同 B . 以 $\text{[math]}$ 的实轴为直径的圆的面积分别记为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 过 $\text{[math]}$ 上的任一点 $\text{[math]}$ 引 $\text{[math]}$ 的切线交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点 D . 斜率为 $\text{[math]}$ 的直线与 $\text{[math]}$ 的右支由上到下依次交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. 在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，点P为CD的中点，则 $\text{[math]}$ ．

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14. 已知函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）在 $\text{[math]}$ 上单调递增，则 $\text{[math]}$ 的一个取值为．

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15. 古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知AC，BD为圆的内接四边形ABCD的两条对角线，sin∠CBD：sin∠BDC：sin∠BAD=1：1： $\text{[math]}$ ， AC=4，则△ABD面积的最大值为．

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16. 设函数 $\text{[math]}$ （a， $\text{[math]}$ ）在区间 $\text{[math]}$ 上总存在零点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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四、解答题

17. 已知 $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的角平分线 $\text{[math]}$ 与边 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 至点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ．
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18. 如图，在三棱台ABC−A₁B₁C₁中，△ABC为等边三角形，AA₁⊥平面ABC，将梯形AA₁C₁C绕AA₁旋转至AA₁D₁D位置，二面角D₁−AA₁−C₁的大小为30°．
1. （1）证明：A₁ ， B₁ ， C₁ ， D₁四点共面，且A₁D₁⊥平面ABB₁A₁；
2. （2）若AA₁=A₁C₁=2AB=4，设G为DD₁的中点，求直线BB₁与平面AB₁G所成角的正弦值．
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19. 在平面直角坐标系xOy中，已知点M（0， $\text{[math]}$ ），点P到点M的距离比点P到x轴的距离大 $\text{[math]}$ ，记P的轨迹为C．
1. （1）求C的方程；
2. （2）过点P（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）（其中 $\text{[math]}$ ）的两条直线分别交C于E，F两点，直线PE，PF分别交y轴于A，B两点，且满足 $\text{[math]}$ ．记 $\text{[math]}$ 为直线EF的斜率， $\text{[math]}$ 为C在点P处的切线斜率，判断 $\text{[math]}$ 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
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20. 已知 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均为等差数列， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ （n=1，2，3，…），其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 这 $\text{[math]}$ 个数中最大的数．
1. （1）计算 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，猜想数列 $\text{[math]}$ 的通项公式并证明；
2. （2）设数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 对任意 $\text{[math]}$ 恒成立，求偶数m的值．
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21. 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，方程 $\text{[math]}$ 的根为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．
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22. 某学校组织数学，物理学科答题竞赛活动，该学校准备了100个相同的箱子，其中第 $\text{[math]}$ 个箱子中有 $\text{[math]}$ 个数学题， $\text{[math]}$ 个物理题．每一轮竞赛活动规则如下：任选一个箱子，依次抽取三个题目（每次取出不放回），并全部作答完毕，则该轮活动结束；若此轮活动中，三个题目全部答对获得一个奖品．
1. （1）已知学生甲在每一轮活动中，都抽中了2个数学题，1个物理题，且甲答对每一个数学题的概率为 $\text{[math]}$ ，答对每一个物理题的概率为 $\text{[math]}$ ．
  ①求学生甲第一轮活动获得一个奖品的概率；
  ②已知 $\text{[math]}$ ，学生甲理论上至少要进行多少轮活动才能获得四个奖品？并求此时 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的值．
2. （2）若学生乙只参加一轮活动，求乙第三次抽到物理题的概率．
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