河南省许昌市2022届高三理数第一次质量检测（一模）试卷

更新时间：2021-11-04 浏览次数：202 类型：高考模拟

一、单选题

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为虚数单位，则复数 $\text{[math]}$ 在复平面内所对应的点在（）

A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限

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3. 已知命题 $\text{[math]}$ “ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ”的否定是“ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ”；命题 $\text{[math]}$ “ $\text{[math]}$ ”的一个充分不必要条件是“ $\text{[math]}$ ”，则下面命题为真命题的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 意大利数学家斐波那契在他的《算盘全书》中提出了一个关于兔子繁殖的问题：如果一对兔子每月能生1对小兔子（一雄一雌），而每1对小兔子在它出生后的第三个月里，又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，从第1个月1对初生的小兔子开始，以后每个月的兔子总对数是：1，1，2，3，5，8，13，21，…，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .若从该数列的前2021项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 在边长为1的正方体 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，则直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的大小为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 北京时间2021年6月17日9时22分，搭载神舟十二号载人飞船的长征二号 $\text{[math]}$ 遥十二运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射成功.此次航天飞行任务中，火箭起到了非常重要的作用.在不考虑空气动力和地球引力的理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速度增量 $\text{[math]}$ （单位：千米/秒）可以用齐奥尔科夫斯基公式 $\text{[math]}$ 来表示，其中， $\text{[math]}$ （单位：千米/秒）表示它的发动机的喷射速度， $\text{[math]}$ （单位：吨）表示它装载的燃料质量， $\text{[math]}$ （单位：吨）表示它自身（除燃料外）的质量.若某型号的火箭发动机的喷射速度为5千米/秒，要使得该火箭获得的最大速度v达到第一宇宙速度（7.9千米/秒），则火箭的燃料质量 $\text{[math]}$ 与火箭自身质量 $\text{[math]}$ 之比 $\text{[math]}$ 约为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知函数 $\text{[math]}$ 的定义域为 $\text{[math]}$ ，值域为[-2，7]，则 $\text{[math]}$ 的最大值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 某校组织甲､乙两个班的学生参加社会实践活动，安排有酿酒､油坊､陶艺､打铁､纺织､插花､竹编制作共七项活动可供选择，每个班上午､下午各安排一项活动（不重复），且同一时间内每项活动只允许一个班参加，则活动安排方案的种数为（）

A . 1260 B . 1302 C . 1520 D . 1764

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10. 已知函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 是自然对数的底数，若 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过右焦点作平行于其中一条渐近线的直线交双曲线于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 的内切圆半径为 $\text{[math]}$ ，则双曲线的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . 2 C . $\text{[math]}$ D . 3

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12. 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的大小顺序为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

13. $\text{[math]}$ 的展开式中 $\text{[math]}$ 的系数是-70，则 $\text{[math]}$ .

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14. 请写出一个同时满足以下三个条件的函数 $\text{[math]}$ （1） $\text{[math]}$ 是偶函数；（2） $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递减；（3） $\text{[math]}$ 的值域是 $\text{[math]}$ .则 $\text{[math]}$ .

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15. 在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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16. 已知三棱锥 $\text{[math]}$ 内接于表面积为 $\text{[math]}$ 的球中，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则三棱锥 $\text{[math]}$ 体积为.

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三、解答题

17. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等比数列， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.
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18. 如图，在四棱台 $\text{[math]}$ 中，底面四边形 $\text{[math]}$ 为菱形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .
1. （1）若点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）设棱 $\text{[math]}$ 上靠近 $\text{[math]}$ 的四等分点为 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.
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19. 某省2021年开始将全面实施新高考方案.在6门选择性考试科目中，物理､历史这两门科目采用原始分计分；思想政治､地理､化学､生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A，B，C，D，E共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分.该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治､地理､化学､生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分.

（1）某校思想政治学科获得A等级的共有10名学生，其原始分及转换分如表：

原始分	91	90	89	88	87	85	83	82
转换分	100	99	97	95	94	91	88	86
人数	1	1	2	1	1	2	1	1

现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中思想政治转换分不低于94分的人数为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望；

（2）假设该省此次高一学生思想政治学科原始分 $\text{[math]}$ 服从正态分布 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，令 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．请解决下列问题：若以此次高一学生思想政治学科原始分 $\text{[math]}$ 等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为多少分？（结果保留整数）附：若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

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20. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在椭圆 $\text{[math]}$ 上，椭圆 $\text{[math]}$ 的左顶点为 $\text{[math]}$ ，上顶点为 $\text{[math]}$ ，原点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；
2. （2）以此椭圆的上顶点 $\text{[math]}$ 为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形 $\text{[math]}$ ，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由.
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21. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）选择下列两个条件之一；① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；判断 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 是否存在极小值点，并说明理由；（其中 $\text{[math]}$ ）（注：若两个条件都选择作答，按第一个条件作答内容给分）
2. （2）已知 $\text{[math]}$ ，设函数 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上存在零点，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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22. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，曲线 $\text{[math]}$ 的参数方程为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数）， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的动点，且动点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ .
1. （1）求动点 $\text{[math]}$ 的轨迹 $\text{[math]}$ 的参数方程；
2. （2）在以 $\text{[math]}$ 为极点， $\text{[math]}$ 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 异于极点的交点为 $\text{[math]}$ ，与曲线 $\text{[math]}$ 异于极点的交点为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ .
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23. 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求不等式 $\text{[math]}$ 的解集；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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