备考2024年浙江中考数学一轮复习专题20.1三角形（2） ...

更新时间：2024-03-02 浏览次数：26 类型：一轮复习

一、选择题（每题3分，共30分）

1. (2023八上·杭州月考) 如图，AB＝AD ，点B关于AC的对称点E恰好落在CD上．若∠BAD＝a（0°＜a＜180°），则∠ACB的度数为（）

A . 45° B . a﹣45° C . $\text{[math]}$ a D . 90°﹣ $\text{[math]}$ a

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2. (2021八上·宁波期末) △DEF和△GHK均为等边三角形，将它们按如图1、图2的方式放置在等边三角形ABC内，若求图1、图2中的阴影部分面积的和，则只需知道（）

A . △BDE的面积 B . 四边形BEFD的面积 C . △ABC面积 D . △DGH的面积

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3. 在△ABC中，它的三边分别为a，b，c，下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A＝∠B＝2∠C；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝1： $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ；其中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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4. (2021九上·金华月考) 如图1是一个小区入口的双翼闸机，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为8cm（如图2），双翼的边缘AC＝BD＝60cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°.当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（　　）

A . 60 $\text{[math]}$ 8 B . 60 $\text{[math]}$ 8 C . 64 D . 68

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5. (2021九上·温岭期末) 如图，等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=8，点D、点E分别是BC、AC边上的点，DE//AB则S_△BDE的最大值是（）

A . 3 B . 4 C . 5 D . 6

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6. (2016八下·广饶开学考) 下列几组数中，为勾股数的是（　　）

A . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， 1 B . 3，4，6 C . 5，12，13 D . 0.9，1.2，1.5

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7. (2023八上·余杭月考) 汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.在如图所示的弦图中，四边形ABCD和EFGH都是正方形， $\text{[math]}$ 是四个全等的直角三角形.若 $\text{[math]}$ ，则正方形ABCD的边长是（）

A . 13 B . 28 C . 48 D . 52

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8.
如图，现有一长方体的实心木块，有一蚂蚁从A处出发沿长方体表面爬行到C′处，若长方体的长AB=4cm，宽BC=3cm，高BB′=2cm，则蚂蚁爬行的最短路径是（　　）

A . $\text{[math]}$ cm B . $\text{[math]}$ cm C . $\text{[math]}$ cm D . 7cm

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9. (2023八上·浙江月考) 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°.动点P从点C出发，沿边CB，BA向点A运动.在点P运动过程中，△PAC可能成为的特殊三角形依次是（）

A . 直角三角形→等边三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形 B . 等腰三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形 C . 直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形 D . 等腰直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形

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10. (2023九上·杭州期中) 如图，已知 $\text{[math]}$ ， AB=4，AC=6，点P在 $\text{[math]}$ 内，将 $\text{[math]}$ 绕着点A逆时针方向旋转60°得到 $\text{[math]}$ .则AE+PB+PC的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. (2023八上·浙江期中) 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6．有一动点P从点C开始沿C→B→A方向以2cm/s的速度运动到点A后停止运动，当运动时间为秒时，△ACP是等腰三角形．

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12. (2023·义乌模拟) 如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，将△BOC绕着点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，连接OD，当α＝°时，△AOD是直角三角形.

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13. (2023八上·杭州月考) 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，点D ， E ， F分别是线段AC ， AB ， DC的中点，下列结论：①△EFB为等边三角形．②S_四边形_DFBE＝ $\text{[math]}$ S_△_A_BC ． ③AE＝2DF ． ④AC＝8DG ．其中正确的是．

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14. (2023八上·安吉期中) 如图，等腰Rt△ABC的直角边长为 $\text{[math]}$ ， D，E分别为边AB，AC上两个动点，且AE=BD，则CD+BE的最小值.

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15. (2023八下·金东月考) 如图所示， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 沿射线 $\text{[math]}$ 方向从点 $\text{[math]}$ 出发以 $\text{[math]}$ 的速度移动，点 $\text{[math]}$ 沿射线 $\text{[math]}$ 方向从点 $\text{[math]}$ 出发以 $\text{[math]}$ 的速度移动， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 同时出发，秒后， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ .

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16. (2023八上·杭州月考) 如图是一个提供床底收纳支持的气压伸缩杆，除了AB是完全固定的钢架外，AD，BC，DE属于位置可变的定长钢架.如图1所示， $\text{[math]}$ ，伸缩杆PQ的两端分别固定在BC，CE两边上，其中 $\text{[math]}$ .当伸缩杆PQ打开最大时，如图2所示， $\text{[math]}$ 成 $\text{[math]}$ ，此时 $\text{[math]}$ ，则可变定长钢架CD的长度为 $\text{[math]}$ .当伸缩杆完全收拢时， $\text{[math]}$ ，则此时床高(CD与AB之间的距离）为cm.

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三、解答题（共5题，共32分）

17. (2022九上·宁波期中) 葛藤是一种刁钻的植物．它自己腰托不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是绕树盘旋上升的路段，总是沿着最短路线——盘旋前进的，难道植物也懂得数学吗？阅读以上信息，你能设计一种方法解决下列问题吗？
1. （1）如图，如果树干的周长（即底面圆的周长）为30cm，从点A绕一圈到点B，葛藤升高40cm，则它爬行路程是多少厘米？
2. （2）如果树干的周长（即底面圆的周长）为40cm，绕一圈爬行50cm，则爬行一圈升高多少厘米？如果爬行10圈到达树顶，则树干高多少厘米？
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18. (2023八上·兰溪月考) 如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒（t≠0）.
1. （1）出发2秒后，求PQ的长；
2. （2）出发几秒钟后，直线PQ把△ABC的周长分成1：2的两部分；
3. （3）在点Q的运动过程中，是否存在时间t求能使△BCQ成为等腰三角形，如果有，请求出t，如果没有请说明理由.
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19. (2023八上·杭州月考) 如图，在△ABC中， $\text{[math]}$ ， ∠ACB=90°，点P是边AB所在直线上的一个动点，连结CP ，将CP绕点C按逆时针方向旋转90°得到CD ，连结AD ．
1. （1）如图1，当点P在AB的延长线上时，求证：AD⊥AB ．
2. （2）如图2，若点P从点B运动到点A ．
  ①△DPA的周长是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．
  ②如图3，过点B作BA的垂线，与直线DC交于点N ，作点B关于直线DC的对称点Q ，直线NQ交直线直线AD于点M ，若∠NMD=60°，求BP的长．
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20. (2023八下·诸暨期末) 有两块腰长为 $\text{[math]}$ 的等腰直角 $\text{[math]}$ 白铁皮．
1. （1）按图1裁出一块正方形 $\text{[math]}$ ，四个顶点都在 $\text{[math]}$ 边上．求裁出正方形的边长．
2. （2）按图2裁出面积总和为 $\text{[math]}$ 的两块矩形铁皮，裁剪过程如下：
  步骤1：在等腰直角 $\text{[math]}$ 白铁皮上裁下一块长宽不等的矩形 $\text{[math]}$ ，矩形的四个顶点都在 $\text{[math]}$ 的边上，留下两块等腰直角三角形零料，分别记为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
  
  步骤2：取其中一块零料 $\text{[math]}$ ，从零料上裁下一块正方形 $\text{[math]}$ ，正方形的四个顶点都在零料边上．求裁下的正方形 $\text{[math]}$ 边长．
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21. (2023七下·东阳期末) 如图，直线 $\text{[math]}$ ，一副三角尺 $\text{[math]}$ 按如图 $\text{[math]}$ 放置，其中点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均在直线 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的度数．
2. （2）如图 $\text{[math]}$ ，若将三角形 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 以每秒 $\text{[math]}$ 度的速度按逆时针方向旋转 $\text{[math]}$ 的对应点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，设旋转时间为 $\text{[math]}$ ．
  $\text{[math]}$ 在旋转过程中，若边 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
  
  $\text{[math]}$ 若在三角形 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转的同时，三角形 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 以每秒 $\text{[math]}$ 度的速度按顺时针方向旋转 $\text{[math]}$ 的对应点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 请直接写出当边 $\text{[math]}$ 时 $\text{[math]}$ 的值．
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四、实践探究题（共5题，共40分）

22. (2023八上·余姚期中) 定义：若以三条线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为边能构成一个直角三角形，则称线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是勾股线段组.
1. （1）如图①，已知点M，N是线段AB上的点，线段AM，MN，NB是勾股线段组.若AB=12，AM=3，求MN的长；
2. （2）如图②，△ABC中，∠A=17°，∠B=28°，边AC，BC的垂直平分线分别交AB于点M，N，求证：线段AM，MN，NB是勾股线段组；
3. （3）如图③，在等边△ABC，P为△ABC内一点，线段AP，BP，CP构成勾股线段组，CP为此线段组的最长线段，求∠APB的度数.
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23. (2023八上·杭州月考) 定义：如果三角形有两个内角的差为60°，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”．
1. （1）顶角为120°的等腰三角形（填“是”或“不是”）“准等边三角形”．
2. （2）已知△ABC是“准等边三角形”，其中∠A＝35°，∠C＞90°，求∠B的度数．
3. （3）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1＋ $\text{[math]}$ ，点D在AC边上，若△BCD是“准等边三角形”，求BD的长．
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24. (2023八上·海曙期中) 阅读材料：
⑴对于任意两个数a、b的大小比较，有下面的方法：
当a﹣b＞0时，一定有a＞b；
当a﹣b＝0时，一定有a＝b；
当a﹣b＜0时，一定有a＜b ．
反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”．
⑵对于比较两个正数a、b的大小时，我们还可以用它们的平方进行比较：
∵a²﹣b²＝（a+b）（a﹣b），a+b＞0
∴（a²﹣b²）与（a﹣b）的符号相同
当a²﹣b²＞0时，a﹣b＞0，得a＞b
当a²﹣b²＝0时，a﹣b＝0，得a＝b
当a²﹣b²＜0时，a﹣b＜0，得a＜b
解决下列实际问题：
1. （1）课堂上，老师让同学们制作几种几何体，张丽同学用了3张A4纸，7张B5纸；李明同学用了2张A4纸，8张B5纸．设每张A4纸的面积为x ，每张B5纸的面积为y，且x＞y ，张丽同学的用纸总面积为W₁ ，李明同学的用纸总面积为W₂ ．回答下列问题：
  ①W₁＝用x、y的式子表示）
  W₂＝（用x、y的式子表示）
  ②请你分析谁用的纸面积最大．
2. （2）如图1所示，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，已知A、B到l的距离分别是3km、4km（即AC＝3km ， BE＝4km），AB＝xkm ，现设计两种方案：
  方案一：如图2所示，AP⊥l于点P ，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a₁＝AB+AP ．
  方案二：如图3所示，点A′与点A关于l对称，A′B与l相交于点P ，泵站修建在店P处，该方案中管道长度a₂＝AP+BP ．
  ①在方案一中，a₁＝ km（用含x的式子表示）；
  ②在方案二中，a₂＝ km（用含x的式子表示）；
  ③请你分析要使铺设的输气管道较短，应选择方案一还是方案二．
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25. (2024八上·杭州期末)
1. （1）【思维启迪】
  如图1，点P是线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系为，位置关系为；
2. （2）【思维探索】
  如图2，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点D为 $\text{[math]}$ 内一点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 到点E ，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，请用等式表示 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并说明理由；
  ★小明思考良久后，根据 $\text{[math]}$ 这一条件，给出了如图4的辅助线：延长 $\text{[math]}$ 到T ，使得 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请你根据小明给出的辅助线，继续猜想 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并说明理由．
3. （3）如图3，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D为 $\text{[math]}$ 中点，点E在线段 $\text{[math]}$ 上（点E不与点B ，点D重合），连接 $\text{[math]}$ ，过点A作 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请求出 $\text{[math]}$ 的长．
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26. (2023八上·安吉期中) 【发现问题】小强在一次学习过程中遇到了下面的问题：如图①，AD是△ABC的中线，若AB=5，AC=3，求AD的取值范围.
1. （1）【探究方法】
  小强所在的小组通过探究发现，延长AD至点E使ED=AD，连接BE.
  可以证出△ADC≌△EDB，利用全等三角形的性质可将已知的边长与AD转化到到△ABE中，进而求出AD的取值范围.
  方法小结：从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线AD延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”.
  请你利用上面解答问题的思路方法，求出求AD的取值范围的过程.
2. （2）【问题解决】
  如图②，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB=AC，下列四个选项中：A．AC=BE B．CE=2CD C．∠BCD=∠BCE D．∠ACD=∠BCD.直接写出所有正确选项的序号是.
3. （3）【问题拓展】
  如图③，在△ABO和△CDO中，OA=OB，OC=OD，∠AOB与∠COD互补，连接AC、BD，E是BD的中点，求证：OE= $\text{[math]}$ AC.
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