已知：如图，，相交于点O，， . 求证：

1. (2021·无锡) 已知：如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相交于点O， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

求证：
1. （1） $\text{[math]}$ ；
3. （2） $\text{[math]}$ .

能力提升真题演练换一批

1. (2021·长沙模拟) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）与x轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，与y轴交于点C.
1. （1）求点C的坐标和抛物线的解析式；
2. （2）点P是第一象限抛物线上的一个动点，连接 $\text{[math]}$ ，交直线 $\text{[math]}$ 于点D.
  ①若 $\text{[math]}$ ，试求四边形 $\text{[math]}$ 的面积S；
  
  ②设 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值.
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2. (2022·兖州模拟) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 的半径为1，对于点A和线段 $\text{[math]}$ ，给出如下定义：若将线段 $\text{[math]}$ 绕点A旋转可以得到 $\text{[math]}$ 的弦 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 的对应点），则称线段 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的以点A为中心的“关联线段”．
1. （1）如图，点 $\text{[math]}$ 的横､纵坐标都是整数．在线段 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 的以点A为中心的“关联线段”是；
2. （2） $\text{[math]}$ 是边长为1的等边三角形，点 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的以点A为中心的“关联线段”，求t的值；
3. （3）在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的以点A为中心的“关联线段”，直接写出 $\text{[math]}$ 的最小值和最大值，以及相应的 $\text{[math]}$ 长．
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3. (2023·深圳模拟) 如图，已知 $\text{[math]}$ 中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， E是 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ 并延长，与 $\text{[math]}$ 的延长线交于点F，与 $\text{[math]}$ 交于点G，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证：四边形 $\text{[math]}$ 是矩形．
2. （2）若 $\text{[math]}$ 的面积是18，求 $\text{[math]}$ 的长．
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1. (2022·重庆) 如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，AC=200米．点E在点A的正北方向．点B，D在点C的正北方向，BD=100米．点B在点A的北偏东30°，点D在点E的北偏东45°．
1. （1）求步道DE的长度(精确到个位)；
2. （2）点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D．请计算说明他走哪一条路较近？(参考数据： $\text{[math]}$
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2. (2022·贵阳) 如图， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线， $\text{[math]}$ 为切点，连接 $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ 垂直平分 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，且交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 时，求证： $\text{[math]}$ ；
3. （3）在（2）的条件下， $\text{[math]}$ ，求阴影部分的面积.
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3. (2021·衡阳) 如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径，D为 $\text{[math]}$ 上一点，E为 $\text{[math]}$ 的中点，点C在 $\text{[math]}$ 的延长线上，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.
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