备考2023年中考数学嘉兴卷变式阶梯训练：第24题

更新时间：2023-04-15 浏览次数：132 类型：三轮冲刺

一、原题

1. (2022·嘉兴) 小东在做九上课本123页习题：“1： $\text{[math]}$ 也是一个很有趣的比．已知线段AB（如图1），用直尺和圆规作AB上的一点P，使AP：AB＝1： $\text{[math]}$ ．”小东的作法是：如图2，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，再以点A为圆心，AC长为半径作弧，交线段AB于点P，点P即为所求作的点．小东称点P为线段AB的“趣点”．
1. （1）你赞同他的作法吗？请说明理由．
2. （2）小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结CP，点D为线段AC上的动点，点E在AB的上方，构造△DPE，使得△DPE∽△CPB．
  ①如图3，当点D运动到点A时，求∠CPE的度数．
  
  ②如图4，DE分别交CP，CB于点M，N，当点D为线段AC的“趣点”时（CD＜AD），猜想：点N是否为线段ME的“趣点”？并说明理由．
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二、基础

2. (2023·合肥模拟) 如图，点C在线段 $\text{[math]}$ 上，在 $\text{[math]}$ 同侧作等腰 $\text{[math]}$ 和等腰 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，分别交 $\text{[math]}$ 于点O，交 $\text{[math]}$ 于点F，
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．
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3. (2023九上·龙泉驿期末) 在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，连接AE，CD交于点O，且∠ADC＝∠AEC，
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ：
2. （2）当D为边AB的中点时，且CE＝4
  ①若2AO＝3OE，求AB
  ②若△AEC为等腰直角三角形，且∠EAC＝90°，求四边形BDOE的面积．
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4. (2020·金华·丽水) 如图，在△ABC中，AB= $\text{[math]}$ ，∠B=45°，∠C=60°.
1. （1）求BC边上的高线长.
2. （2）点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF.
  ①如图2，当点P落在BC上时，求∠AEP的度数.
  
  ②如图3，连结AP，当PF⊥AC时，求AP的长.
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5. (2022九上·雁塔月考) 【问题呈现】
1. （1）如图1， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是等边三角形，连接BD、CE．求证：BD=CE．
2. （2）【类比探究】
  如图2， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，连接BD、CE，则 $\text{[math]}$ ．
3. （3）如图3， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，∠DAE=∠BAC=30°，连接BD、CE．
  ①求 $\text{[math]}$ 的值；
  
  ②延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点G．交 $\text{[math]}$ 于点F．求 $\text{[math]}$ ．
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6. (2023九上·汉台期末)
1. （1）【问题提出】如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， D是 $\text{[math]}$ 边上一点，F是 $\text{[math]}$ 边上一点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）【问题探究】
  如图2，在四边形 $\text{[math]}$ 中，点D是 $\text{[math]}$ 边的中点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长；
3. （3）【问题解决】
  某市进行绿化改造，美化生态环境.如图3，现有一块三角形的荒地 $\text{[math]}$ 计划改造公园，经测量 $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ ，按设计要求，要在三角形公园 $\text{[math]}$ 内建造一个以A为直角顶点的等腰直角三角形活动场所 $\text{[math]}$ ，且顶点D、顶点E分别在边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ 米，请求出符合设计要求的等腰直角三角形活动场所 $\text{[math]}$ 的顶点D所在的位置（即 $\text{[math]}$ 的长）.
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三、进阶

7. (2023九上·双流期末) 如图，在锐角 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，过点A作 $\text{[math]}$ 于点D，过点B作 $\text{[math]}$ 于点E， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点H，连接 $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ 的平分线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点G.
1. （1）求证： $\text{[math]}$
2. （2）试探究线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系；
3. （3）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.
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8. (2020·宜兴模拟) 如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AC平分∠DAB，直线DC与AB的延长线相交于点P，AD与PC延长线垂直，垂足为D，CE平分∠ACB，交⊙O于E.
1. （1）求证：PC与⊙O相切；
2. （2）若AC=6，tan∠BEC= $\text{[math]}$ ，求BE的长度以及图中阴影部分面积.
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9. (2020·富宁模拟) 如图，AB为⊙O的直径，AC，BC是⊙O的两条弦，过点C作∠BCD＝∠A，CD交AB的延长线于点D.
1. （1）试说明：CD是⊙O的切线；
2. （2）若tanA＝ $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）在（2）的条件下，若AB＝7，DE平分∠ADC交AC于点E，求ED的长.
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10. (2022·徐州) 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，点P在边AB上，D、E分别为BC、PC的中点，连接DE．过点E作BC的垂线，与BC、AC分别交于F、G两点．连接DG，交PC于点H．
1. （1） ∠EDC的度数为；
2. （2）连接PG，求△APG 的面积的最大值；
3. （3） PE与DG存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由；
4. （4）求 $\text{[math]}$ 的最大值．
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11. (2020·河南模拟) 等腰直角三角形OAB中，∠OAB＝90°，OA＝AB，点D为OA中点，DC⊥OB，垂足为C，连接BD，点M为线段BD中点，连接AM、CM，如图①.
1. （1）求证：AM＝CM；
2. （2）将图①中的△OCD绕点O逆时针旋转90°，连接BD，点M为线段BD中点，连接AM、CM、OM，如图②.
  ①求证：AM＝CM，AM⊥CM；
  
  ②若AB＝4，求△AOM的面积.
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12. (2021·青山模拟) 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB上一点.
1. （1）如图1，若CD⊥AB，求证：AC²=AD·AB；
2. （2）如图2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）如图3，若AC=BC，点H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，则tan∠ACH的值为.
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13. △ABC中，AB＝AC＝a，∠EDF的顶点D是底边BC的中点，两边分别与AB、AC交于点F、E，研究BF和CE之间的数量关系．为此，可以用从特殊到一般的方法进行研究．
1. （1）研究特例．如图1，∠A＝90°，∠EDF＝90°，当E，F的位置变化时，BF+CE是否随之变化？证明你的结论；
2. （2）变式迁移．如图2，当∠A＝120°，a＝6，当∠EDF＝°时，（1）中的结论仍然成立，求出此时BF+CE的值；
3. （3）推广到一般．如图3，当∠BAC和∠EDF满足什么关系时，（1）中的结论仍然成立？若G是射线BA上的一点，且BG＝BF+CE，请直接写出∠BGC的度数．
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14. (2022·宁波)
1. （1）【基础巩固】
  如图1，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∥BC，BF=CF，AF交DE于点G，求证：DG= EG．
2. （2）【尝试应用】
  如图2，在(1)的条件下，连结CD，CG．若CG⊥DE，CD=6，AE=3，求 $\text{[math]}$ 的值．
3. （3）【拓展提高】
  如图3，在▱ABCD中，∠ADC=45°，AC与BD交于点O，E为AO上一点，EG∥BD交AD于点G，EF⊥EG交BC于点F．若∠EGF=40°，FG平分∠EFC，FG=10，求BF的长．
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15. (2020·襄州模拟) 如图.
1. （1）问题发现
  如图1，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC=∠DBE=90°，∠ACB=∠BED=45°，点E是线段AC上一动点，连接DE.
  
  填空：①则 $\text{[math]}$ 的值为；②∠EAD的度数为.
2. （2）类比探究
  如图2，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC=∠DBE=90°，∠ACB=∠BED=60°，点E是线段AC上一动点，连接DE.请求出 $\text{[math]}$ 的值及∠EAD的度数；
3. （3）拓展延伸
  如图3，在（2）的条件下，取线段DE的中点M，连接AM、BM，若BC=4，则当△ABM是直角三角形时，求线段AD的长.
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16. (2021·涧西模拟) 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 的中点，以 $\text{[math]}$ 为一边作正方形 $\text{[math]}$ ，
1. （1）如图1，点E恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为；
2. （2）在（1）的条件下，
  ①如果正方形 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 与AF的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；
  
  ②正方形 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转的过程中，当以点A，B，C，E为顶点的四边形是平行四边形时.直接写出线段AF的长.
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17. (2020·青海模拟) 请认真阅读下面的数学探究，并完成所提出的问题.
1. （1）探究1：如图1，在边长为 $\text{[math]}$ 的等边三角形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上任意一点，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 按顺时针方向旋转至 $\text{[math]}$ 处，连接 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积的最小值.
2. （2）探究2：如图2，若 $\text{[math]}$ 是腰长为 $\text{[math]}$ 的等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ，（1）中的其他条件不变，请求出此时 $\text{[math]}$ 面积的最小值.
3. （3）探究3：如图3，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上任意一点，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 按顺时针方向旋转至 $\text{[math]}$ 处， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三点共线，连接 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积的最小值.
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18. (2019九上·川汇期末) 如图
1. （1）问题发现
  如图1，△ABC和△CDE均为等边三角形，直线AD和直线BE交于点F.
  
  填空：① $\text{[math]}$ 的度数是；②线段AD，BE之间的数量关系为；
2. （2）类比探究
  如图2，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直线AD和直线BE交于点F.请判断 $\text{[math]}$ 的度数及线段AD，BE之间的数量关系，并说明理由.
3. （3）解决问题
  如图3，在△ABC中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D在AB边上， $\text{[math]}$ 于点E， $\text{[math]}$ ，将△ADE绕着点A在平面内旋转，请直接写出直线DE经过点B时，点C到直线DE的距离.
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19. (2023·武安模拟) 有两张全等的等腰直角三角形纸片 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）如图1，若点F在边 $\text{[math]}$ 的中点M处， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿射线 $\text{[math]}$ 方向平移 $\text{[math]}$ ，当四边形 $\text{[math]}$ 是菱形时，求a的值；
2. （2）若将图1中的 $\text{[math]}$ 以点F为旋转中心，按逆时针方向旋转一定角度， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点G， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点H，如图2，发现 $\text{[math]}$ ，请你证明这个结论；
3. （3）若将图1中的 $\text{[math]}$ 沿射线 $\text{[math]}$ 方向平移 $\text{[math]}$ ，接着以点F为旋转中心，按顺时针方向旋转至 $\text{[math]}$ 经过点C时， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点G，如图3，求出此时两张等腰直角三角形纸片重叠部分 $\text{[math]}$ 的面积．
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20. (2023·沁阳模拟) 问题情境：
数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动（每个小组的矩形纸片规格相同），已知矩形纸片宽AB＝8，长AD＝8 $\text{[math]}$ .
动手实践：
1. （1）如图1，腾飞小组将矩形纸片ABCD折叠，点A落在BC边上的点 $\text{[math]}$ 处，折痕为BE，连接 $\text{[math]}$ ，然后将纸片展平，得到四边形 $\text{[math]}$ ，则折痕BE的长为.
2. （2）如图2，永攀小组将矩形纸片ABCD沿经过A、C两点的直线折叠，展开后得折痕AC.再将其沿经过点B的直线折叠，使点A落在OC上（O为两条折痕的交点），第二条折痕与AD交于点E.请写出OC与OA的数量关系，并说明理由.
3. （3）如图3，探究小组将图1中的四边形 $\text{[math]}$ 剪下，在AE上取中点F，将△ABF沿BF折叠得到△MBF，点P、Q分别是边 $\text{[math]}$ 上的动点（均不与顶点重合），将 $\text{[math]}$ 沿PQ折叠使 $\text{[math]}$ 的对应点N恰好落在BM上，当 $\text{[math]}$ 的一个内角与 $\text{[math]}$ 相等时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的长.
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四、突破

21. (2021·栖霞模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中，
1. （1）如图①， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ .
2. （2）如图②， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
  ①求 $\text{[math]}$ 的长度.
  
  ② $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 上一点，以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 中的两点及点 $\text{[math]}$ 为顶点的三角形为等腰三角形，直接写出 $\text{[math]}$ 的长度.
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22. (2021·仙桃) 已知 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都为等腰三角形， $\text{[math]}$ .
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，
  ①如图1，当点D在 $\text{[math]}$ 上时，请直接写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系； ▲ ；
  
  ②如图2，当点D不在 $\text{[math]}$ 上时，判断线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并说明理由；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，
  ①如图3，探究线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并说明理由；
  
  ②当 $\text{[math]}$ 时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的长.
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23. (2022·任城模拟) 我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线， $\text{[math]}$ ，垂足为P．像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
特例探索
1. （1） ①如图1，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ▲ ， $\text{[math]}$ ▲ ；
  ②如图2，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，求a和b的值．
2. （2）请你观察（1）中的计算结果，猜想三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．
3. （3）利用（2）中的结论，解答下列问题：
  在菱形ABCD中，对角线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， O为对角线AC，BD的交点，E，F分别为线段AO，DO的中点，连接BE，CF并延长交于点M，BM，CM分别交AD于点G，H，如图4所示，求 $\text{[math]}$ 的值．
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24. (2020·吉安模拟) 定义：两个相似等腰三角形，如果它们的底角有一个公共的顶点，那么把这两个三角形称为“关联等腰三角形”．如图，在 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 所以称 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 为“关联等腰三角形”，设它们的顶角为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 会为“关联比"．
下面是小颖探究“关联比”与α之间的关系的思维过程，请阅读后，解答下列问题：

[特例感知]
1. （1）当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 为“关联等腰三角形”，且 $\text{[math]}$ 时，
  ①在图1中，若点E落在 $\text{[math]}$ 上，则“关联比” $\text{[math]}$ = ▲
  
  ②在图2中，探究 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的关系，并求出“关联比” $\text{[math]}$ 的值．
2. （2） [类比探究]
  如图3，
  
  ①当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 为“关联等腰三角形”，且 $\text{[math]}$ 时，“关联比” $\text{[math]}$ =
  
  ②猜想：当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 为“关联等腰三角形”，且 $\text{[math]}$ 时，“关联比” $\text{[math]}$ = (直接写出结果，用含 $\text{[math]}$ 的式子表示)
3. （3） [迁移运用]
  如图4， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 为“关联等腰三角形”．若 $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上一点，且 $\text{[math]}$ ，点E为 $\text{[math]}$ 上一动点，求点E自点B运动至点P时，点D所经过的路径长．
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