2017年湖南省衡阳市高考数学三模试卷（理科）

更新时间：2017-07-30 浏览次数：851 类型：高考模拟

一、选择题

1. i是虚数单位，复数 $\text{[math]}$ ，则a+b=（）

A . 0 B . 2 C . 1 D . ﹣2

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2. 设集合 $\text{[math]}$ ，B={（x，y）|y=3^x}，则A∩B的子集的个数是（）

A . 4 B . 3 C . 2 D . 1

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3. (2017·衡水模拟) 已知sin（α+ $\text{[math]}$ ）+sinα=﹣ $\text{[math]}$ ，﹣ $\text{[math]}$ ＜α＜0，则cos（α+ $\text{[math]}$ ）等于（）

A . ﹣ $\text{[math]}$ B . ﹣ $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2017高二上·清城期末) 为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（）

A . 150 B . 180 C . 200 D . 280

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5. 执行如图所示的程序框图，若输出的S值为﹣4，则条件框内应填写（）

A . i＞3？ B . i＜5？ C . i＞4？ D . i＜4？

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6. 直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，底面是正三角形，三棱柱的高为 $\text{[math]}$ ，若P是△A₁B₁C₁中心，且三棱柱的体积为 $\text{[math]}$ ，则PA与平面ABC所成的角大小是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 函数f（x）=2sin（πx）﹣ $\text{[math]}$ ，x∈[﹣2，4]的所有零点之和为（）

A . 2 B . 4 C . 6 D . 8

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8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 6 D . $\text{[math]}$

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9. 已知对任意平面向量 $\text{[math]}$ =（x，y），把 $\text{[math]}$ 绕其起点沿逆时针旋转θ角得到向量 $\text{[math]}$ =（xcosθ﹣ysinθ，xsinθ+ycosθ），叫做把点B绕点A逆时针方向旋转角θ得到点P，设平面内曲线C上的每一点绕原点逆时针方向旋转 $\text{[math]}$ 后得到点的轨迹是曲线x²﹣y²=2，则原来曲线C的方程是（）

A . xy=﹣1 B . xy=1 C . y²﹣x²=2 D . y²﹣x²=1

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10. 已知F₁、F₂分别为双曲线C： $\text{[math]}$ =1的左、右焦点，P为双曲线C右支上一点，且|PF₁|=2|PF₂|，则△PF₁F₂外接圆的面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 如图．在△ABC中，D是BC的中点，E、F是AD上的两个三等分点， $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =4， $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =﹣1，则 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 的值是（）

A . 4 B . 8 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 《数学统综》有如下记载：“有凹线，取三数，小小大，存三角”．意思是说“在凹（或凸）函数（函数值为正）图象上取三个点，如果在这三点的纵坐标中两个较小数之和大于最大的数，则存在将这三点的纵坐标值作为三边长的三角形”．现已知凹函数f（x）=x²﹣2x+2，在 $\text{[math]}$ 上任取三个不同的点（a，f（a）），（b，f（b）），（c，f（c）），均存在以f（a），f（b），f（c）为三边长的三角形，则实数m的取值范围为（）

A . [0，1] B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题：

13. $\text{[math]}$ 展开式中第三项为．

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14. 设函数f（x）= $\text{[math]}$ ，D是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域，则z=x²+y²+2x+2y在D上的最小值为．

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15. 已知 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为S_n ，数列{b_n}的通项公式为b_n=n﹣8，则b_nS_n的最小值为．

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16. 已知函数f（x）=log $\text{[math]}$ （x²+ $\text{[math]}$ ）﹣| $\text{[math]}$ |，则使得f（x+1）＜f（2x﹣1）成立x的范围是．

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三、解答题

17. 已知数列{a_n}的首项a₁=4，当n≥2时，a_n_﹣1a_n﹣4a_n_﹣1+4=0，数列{b_n}满足b_n= $\text{[math]}$
1. （1）求证：数列{b_n}是等差数列，并求{b_n}的通项公式；
2. （2）若c_n=4^bn•（na_n﹣6），如果对任意n∈N^* ，都有c_n+ $\text{[math]}$ t≤2t² ，求实数t的取值范围．
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18. 据某市地产数据研究院的数据显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如图所示，为抑制房价过快上涨，政府从8月份采取宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制．
（Ⅰ）地产数据研究院研究发现，3月至7月的各月均价y（万元/平方米）与月份x之间具有较强的线性相关关系，试建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01），政府若不调控，依次相关关系预测第12月份该市新建住宅销售均价；
（Ⅱ）地产数据研究院在2016年的12个月份中，随机抽取三个月份的数据作样本分析，若关注所抽三个月份的所属季度，记不同季度的个数为X，求X的分布列和数学期望．
参考数据： $\text{[math]}$ =25， $\text{[math]}$ =5.36， $\text{[math]}$ =0.64
回归方程 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ ．

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19. 如图，在四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD和侧面BCC₁B₁都是矩形，E是CD的中点，D₁E⊥CD，AB=2BC=2．
1. （1）求证：BC⊥D₁E；
2. （2）若平面BCC₁B₁与平面BED₁所成的锐二面角的大小为 $\text{[math]}$ ，求线段D₁E的长度．
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20. 已知椭圆E： $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0）的左焦点F₁（﹣ $\text{[math]}$ ，0），若椭圆上存在一点D，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段DF₁相切于线段DF₁的中点F
1. （1）求椭圆E的方程；
2. （2）过坐标原点O的直线交椭圆W： $\text{[math]}$ =1于P、A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连结AC并延长交椭圆W于B，求证：PA⊥PB．
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21. 已知函数 $\text{[math]}$ ．（a为常数，a＞0）
（Ⅰ）若 $\text{[math]}$ 是函数f（x）的一个极值点，求a的值；
（Ⅱ）求证：当0＜a≤2时，f（x）在 $\text{[math]}$ 上是增函数；
（Ⅲ）若对任意的a∈（1，2），总存在 $\text{[math]}$ ，使不等式f（x₀）＞m（1﹣a²）成立，求实数m的取值范围．

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22. 已知直线l的极坐标方程为ρsin（θ+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，圆C的参数方程为： $\text{[math]}$ （其中θ为参数）．
1. （1）判断直线l与圆C的位置关系；
2. （2）若椭圆的参数方程为 $\text{[math]}$ （φ为参数），过圆C的圆心且与直线l垂直的直线l′与椭圆相交于A，B两点，求|AB|．
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23. (2015·岳阳模拟) 已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．
1. （1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，求实数a的值；
2. （2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m的取值范围．
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