在平面直角坐标系中，点，点 .已知抛物线（是常数），顶点为 . （Ⅰ）当抛物线经过点时，求顶点的坐标；（Ⅱ）若点在轴下方，当时，求抛物线的解析式；（Ⅲ）无论取何值，该抛物线都经过定点 .

1. 在平面直角坐标系中，点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ .已知抛物线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 是常数），顶点为 $\text{[math]}$ .
（Ⅰ）当抛物线经过点 $\text{[math]}$ 时，求顶点 $\text{[math]}$ 的坐标；

（Ⅱ）若点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴下方，当 $\text{[math]}$ 时，求抛物线的解析式；

（Ⅲ）无论 $\text{[math]}$ 取何值，该抛物线都经过定点 $\text{[math]}$ .当 $\text{[math]}$ 时，求抛物线的解析式.

基础巩固能力提升变式训练拓展培优真题演练换一批

1. (2022九上·长汀月考) 已知抛物线的顶点为（1，4），与y轴交点为（0，3），求该抛物线的解析式.

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2. (2022九上·通榆期中) 如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系：h=-5t²+20t，求小球飞行高度达到最高时的飞行时间．

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3. (2021九上·原州月考) 已知二次函数y=x²﹣x﹣6.求二次函数的图象与坐标轴的交点所构成的三角形的面积.

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1. (2023九上·休宁期中) 如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN ，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD ，其中 $\text{[math]}$ ，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了46米木栏．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，所围成的矩形菜园的面积为280平方米，求所利用旧墙AD的长；
2. （2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．
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2. (2023九上·吉林期中) 如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6cm，动点P从点C出发，以1cm/s的速度沿CA匀速运动，同时动点Q从点A出发，以 $\text{[math]}$ cm/s的速度沿AB匀速运动，当点P到达点A时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为t（s）．
1. （1）当t=3时，线段PQ的长为cm；
2. （2）是否存在某一时刻t，使点B在线段PQ的垂直平分线上？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
3. （3）如图②，以PC为边，向PC右侧作正方形CPMN，设正方形CPMN与Rt△ABC重叠部分的面积为S．
  ①求S关于t的函数关系式；
  ②当S的值为14时，直接写出t的值．
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3. (2023九上·三台期中) 某商场将进价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查发现，售价在40元至70元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就减少10个．为了实现每月获得最大的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？最大利润为多少元？

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1. 如图是二次函数 $\text{[math]}$ 的一部分，对称轴是直线 $\text{[math]}$ ，关于下列结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ；⑤方程 $\text{[math]}$ 的两个根为 $\text{[math]}$ ．其中正确的结论有（）

A . ①③④ B . ②③⑤ C . ①②⑤ D . ②④⑤

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2. (2021九上·贵州期中) 在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量m的某种气体，当改变容积V时，气体的密度ρ也随之改变ρ与V在一定范围内满足ρ= $\text{[math]}$ ，它的图象如图所示，则该气体的质量m为（）

A . 1.4kg B . 5kg C . 6.4kg D . 7kg

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3. (2021九上·自贡期中) 如图，二次函数y₁＝ax²+bx+c（a≠0）与一次函数y₂＝kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2），则不等式ax²+bx+c＞kx+m的解集是．

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1. (2021·镇江模拟) 如图1，二次函数 $\text{[math]}$ 的图象记为 $\text{[math]}$ ，与y轴交于点A，其顶点为B，二次函数 $\text{[math]}$ 的图象记为 $\text{[math]}$ ，其顶点为D，图象 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 相交于点P，设点P的横坐标为m.
1. （1）求证：点D在直线 $\text{[math]}$ 上；
2. （2）求m和h的数量关系；
3. （3）平行于x轴的直线 $\text{[math]}$ 经过点P，与图象 $\text{[math]}$ 交于另一点E，与图象 $\text{[math]}$ 交于另一点F，若 $\text{[math]}$ ，求h的值；
4. （4）如图2，过点P作平行于 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ ，与图象 $\text{[math]}$ 交于另一点Q，连接 $\text{[math]}$ .当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ .（直接写出结果）
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2. (2023八下·西安月考) 如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，A，C两点的坐标分别为(4，0)，(-2，3)．将▱OABC先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到▱NPQM．
1. （1）请你直接写出点N，M的坐标；
2. （2） ▱NPQM与▱OABC的重叠部分的形状是，重叠部分的面积是；
3. （3）点E是x轴上一动点，在直线OB上是否存在点D，使得以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形?若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由．
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3. (2023八下·开州期末) 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $\text{[math]}$ 的图象与 $\text{[math]}$ 轴， $\text{[math]}$ 轴分别交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，以 $\text{[math]}$ 为边在第二象限内作等腰 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的面积；
2. （2）求直线 $\text{[math]}$ 的解析式；
3. （3）点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上一动点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求四边形 $\text{[math]}$ 的面积及此时点 $\text{[math]}$ 的坐标．
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1. (2021·福建) 若反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象过点 $\text{[math]}$ ，则k的值等于.

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2. (2021·广州) 一元二次方程 $\text{[math]}$ 有两个相等的实数根，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是反比例函数 $\text{[math]}$ 上的两个点，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ （填“＜”或“＞”或“＝”）．

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3. (2021·徐州) 在平面直角坐标系中，将二次函数 $\text{[math]}$ 的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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