（培优卷）2.3三角形的内切圆-2023-2024年浙教版数...

更新时间：2023-09-10 浏览次数：29 类型：同步测试

一、选择题（每题3分，共30分）

1. (2021·武汉模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 其周长为20，⊙I是 $\text{[math]}$ 的内切圆，其半径为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的外接圆半径为（）

A . 7 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2023·威海) 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，下列说法错误的是（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 内切圆的半径 $\text{[math]}$ D . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 是直角三角形

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3. (2023·慈溪模拟) 如图，在正 $\text{[math]}$ 中，D，E分别在边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的平分线过 $\text{[math]}$ 的内心O，交 $\text{[math]}$ 于点F，连接 $\text{[math]}$ ．若要知道 $\text{[math]}$ 的周长，则只需要知道下列哪个三角形的周长？该三角形是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2023·洪山模拟) 如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的内切圆， $\text{[math]}$ ，过点I作 $\text{[math]}$ 分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于N，M，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的半径是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2023九下·姑苏开学考) 如图，不等边 $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ ， I是其内心， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 内切圆半径为（）

A . 4 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2023·武汉模拟) 如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 的切线，切点为A，B，点C为弧 $\text{[math]}$ 上一动点，过点C作 $\text{[math]}$ 的切线，分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点D，E，作 $\text{[math]}$ 的内切圆 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的半径为R， $\text{[math]}$ 的半径为r，则 $\text{[math]}$ 的面积是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2020·龙海模拟) 如图，点E为 $\text{[math]}$ 的内心，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则MN的长为（）

A . 3.5 B . 4 C . 5 D . 5.5

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8. (2020·青山模拟) 如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P，从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H。设△OPH的内心为I，当点P在弧AB上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . π

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9. (2020·无锡模拟) 如图， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内，且 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，过点D作直线 $\text{[math]}$ ，分别交 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 于点P、Q，若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相似，则线段 $\text{[math]}$ 的长为（）

A . 5 B . $\text{[math]}$ C . 5或 $\text{[math]}$ D . 6

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10. (2023·武汉模拟) 课本中有这样一句话：“利用勾股定理，可以作出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …的线段（如图）.”记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ 的内切圆的半径分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则n的值是（）

A . 24 B . 25 C . 26 D . 27

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二、填空题（每空4分，共24分）

11. (2023九上·福州模拟) 已知 $\text{[math]}$ 内接于⊙O，I是 $\text{[math]}$ 的内心，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的度数是.

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12. (2023·江油模拟) 如图，点I为的 $\text{[math]}$ 内心，连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 的外接圆于点D，点E为弦 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ .

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13. (2023·梅州模拟) 如题图所示，在 $\text{[math]}$ 中存在一面积为 $\text{[math]}$ 的内切圆，其圆心为点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，若满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的值为．

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14. (2022·泰州) 如图上， $\text{[math]}$ O为内心，过点O的直线分别与AC、AB相交于D、E，若DE=CD+BE，则线段CD的长为.

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15. (2021·黄冈模拟) 如图，已知 $\text{[math]}$ 的半径为2，弦 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为优弧 $\text{[math]}$ 上动点，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的内心，当点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 向点 $\text{[math]}$ 运动时，点 $\text{[math]}$ 移动的路径长为.

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16. (2020·兴化模拟) 如图，扇形AOB，且OB=4，∠AOB=90°，C为弧AB上任意一点，过C点作CD⊥OB于点D，设△ODC的内心为E，连接OE、CE，当点C从点B运动到点A时，内心E所经过的路径长为。

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三、解答题（共8题，共66分）

17. (2023·游仙模拟) 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $\text{[math]}$ 的图象分别交x轴，y轴正半轴于点A，B， $\text{[math]}$ 内切于 $\text{[math]}$ ，反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象经过点P，交直线 $\text{[math]}$ 于点C，D（C在点D的左侧）.
1. （1）求反比例函数的解析式；
2. （2）过点C，D分别作x轴，y轴的平行线交于点E，求 $\text{[math]}$ 的面积.
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18. (2023·游仙模拟) 如图，点E是 $\text{[math]}$ 的内心， $\text{[math]}$ 的延长线和 $\text{[math]}$ 的外接圆相交于点D.
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求该圆的半径的长度；
3. （3）在（2）的条件下，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.
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19. (2021·长沙模拟) 如图，在矩形ABCD中， $\text{[math]}$ 为矩形 $\text{[math]}$ 对角线， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的延长线交AB于点E，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求AE的长；
2. （2） $\text{[math]}$ 的角平分线CF交AD于点F，求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）若 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的内心，求 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点间的距离.
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20. (2019·石家庄模拟) 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，BC=12cm，半圆O的直径DE=12cm.点E与点C重合，半圆O以2cm/s的速度从左向右移动，在运动过程中，点D、E始终在BC所在的直线上.设运动时间为x(s），半圆O与△ABC的重叠部分的面积为S(cm²).
1. （1）当x=0时，设点M是半圆O上一点，点N是线段AB上一点，则MN的最大值为：MN的最小值为.
2. （2）在平移过程中，当点O与BC的中点重合时，求半圆O与△ABC重叠部分的面积S；
3. （3）当x为何值时，半圆O与△ABC的边所在的直线相切?
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21. (2023·西安模拟) 如图：
1. （1）如图1， $\text{[math]}$ 的半径为2， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上任意一点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为 .
2. （2）如图2，已知矩形 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上方一点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的内心，求 $\text{[math]}$ 的度数.
3. （3）如图3，在（2）的条件下，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若矩形的边长 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求此时 $\text{[math]}$ 的最小值.
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22. (2023九下·睢宁开学考) 已知：△ABC内接于⊙O，∠BAC的角平分线AD交⊙O于点D.
1. （1）如图①，以点D为圆心，DB长为半径作弧，交AD于点I.求证：点I是△ABC的内心；
2. （2）如图②，在（1）的条件下，若AD与BC交于点E.求证： $\text{[math]}$ ；
3. （3）探究：如图③，△ABC内接于⊙O，若BC＝8，∠BAC＝120°，求△ABC内切圆半径的最大值.
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23.
【阅读材料】已知，如图1，在面积为S的△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，内切圆O的半径为r，连接OA，OB，OC，△ABC被划分为三个小三角形．
∵S=S_△_OBC+S_△_OAC+S_△_OAB= $\text{[math]}$ BC•r+ $\text{[math]}$ AC•r+ $\text{[math]}$ AB•r= $\text{[math]}$ ar+ $\text{[math]}$ br+ $\text{[math]}$ cr= $\text{[math]}$ （a+b+c）r．
∴r= $\text{[math]}$ ．
（1）【类比推理】如图2，若面积为S的四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），各边长分别为AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求四边形的内切圆半径r的值；
（2）【理解应用】如图3，在Rt△ABC中，内切圆O的半径为r，⊙O与△ABC各边分别相切于D、E和F，已知AD=3，BD=2，求r的值．

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24. (2020·北京模拟) 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积术”，三斜即指三角形的三条边长，可以用该方法求三角形面积．若改用现代数学语言表示，其形式为：设， $\text{[math]}$ ，为三角形三边， $\text{[math]}$ 为面积，则 $\text{[math]}$ ①
这是中国古代数学的瑰宝之一．

而在文明古国古希腊，也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式，若设 $\text{[math]}$ （周长的一半），则 $\text{[math]}$ ②
1. （1）尝试验证．这两个公式在表面上形式很不一致，请你用以5，7，8为三边构成的三角形，分别验证它们的面积值；
2. （2）问题探究．经过验证，你发现公式①和②等价吗？若等价，请给出一个一般性推导过程（可以从① $\text{[math]}$ ②或者② $\text{[math]}$ ① $\text{[math]}$ ；
3. （3）问题引申．三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值，很多数学家给出了不同形式的计算公式．请你证明如下这个公式：如图， $\text{[math]}$ 的内切圆半径为，三角形三边长为， $\text{[math]}$ ，仍记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为三角形面积，则 $\text{[math]}$ ．
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