如图四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点E，若△ABC为等边三角形， AD⊥AB，AD=DC=4；

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1. (2018八上·龙湖期中) 如图四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点E，若△ABC为等边三角形， AD⊥AB，AD=DC=4；
1. （1）求证：BD垂直平分AC；
3. （2）求BE的长；
5. （3）若点F为BC的中点，请在BD上找出一点P，使PC+PF取得最小值。PC+PF的最小值为（直接写出结果）。

能力提升真题演练换一批

1. (2023八上·东阿月考) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的垂直平分线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的度数；
2. （2）已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的周长为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的周长．
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2. (2024八上·绥阳期末) 如图①，在等边 $\text{[math]}$ 中，点D是线段 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为边，作等边 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）如图②，当点D在射线 $\text{[math]}$ 上时（C点的右边）， $\text{[math]}$ 是否依然成立，请说明理由；
3. （3）如图③，当点D在射线CB上时（B点的左边），若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的度数是多少？
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3. 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，等边三角形ADE的顶点D，E分别落在BC，AC上．若AD=BD，求∠EDC的度数．

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1. (2021·郴州) 如图，莽山五指峰景区新建了一座垂直观光电梯.某测绘兴趣小组为测算电梯AC的高度，测得斜坡AB＝105米，坡度i＝1：2，在B处测得电梯顶端C的仰角α＝45°，求观光电梯AC的高度.
（参考数据： $\text{[math]}$ ≈1.41， $\text{[math]}$ ≈1.73， $\text{[math]}$ ≈2.24.结果精确到0.1米）

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2. (2021·宿迁) 一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度(结果精确到1米，参考数据： $\text{[math]}$ 1.414， $\text{[math]}$ =1.732).

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3. (2016·丽水)
数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC=2，求AF的长．
请你运用所学的数学知识解决这个问题.

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