湖南省郴州市2021年中考数学试卷

更新时间：2021-09-11 浏览次数：530 类型：中考真卷

一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）

1. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是（）

A . a＞b B . |a|＞|b| C . ab＞0 D . a+b＞0

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2. 下列垃圾分类图标分别表示：“可回收垃圾”、“有害垃圾”、“厨余垃圾”、“其它垃圾”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A . B . C . D .

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3. 为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了7nm的光刻机难题，其中1nm＝0.000000001m，则7nm用科学记数法表示为（）

A . 0.7×10⁸m B . 7×10^﹣⁸m C . 0.7×10^﹣⁸m D . 7×10^﹣⁹m

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4. 下列运算正确的是（）

A . a²•a³＝a⁶ B . （a³）²＝a⁵ C . $\text{[math]}$ ＝3 D . （a+b）²＝a²+b²

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5. 下列说法正确的是（）

A . “明天下雨的概率为80%”，意味着明天有80%的时间下雨 B . 经过有信号灯的十字路口时，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯 C . “某彩票中奖概率是1%”，表示买100张这种彩票一定会有1张中奖 D . 小明前几次的数学测试成绩都在90分以上这次数学测试成绩也一定在90分以上

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6. 已知二元一次方程组 $\text{[math]}$ ，则x﹣y的值为（）

A . 2 B . 6 C . ﹣2 D . ﹣6

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7. 由5个相同的小立方体搭成的物体如图所示，则它的俯视图为（）

A . B . C . D .

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8. 如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，点P从点A出发，沿路线A→B→C→D运动.设P点经过的路程为x，以点A，D，P为顶点的三角形的面积为y，则下列图象能反映y与x的函数关系的是（）

A . B . C . D .

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二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）

9. 使 $\text{[math]}$ 有意义的x的取值范围是 .

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10. 在反比例函数y＝ $\text{[math]}$ 的图象的每一支曲线上，函数值y随自变量x的增大而增大，则m的取值范围是 .

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11. 为庆祝中国共产党建党一百周年，某校开展了主题为“我身边的共产党员”的演讲比赛.比赛从演讲内容、演讲技巧、演讲效果三个方面打分，最终得分按4：3：3的比例计算.若选手甲在演讲内容、演讲技巧、演讲效果三个方面的得分分别为95分、80分、90分，则选手甲的最终得分为分.

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12. 一个多边形的每一个外角都等于60°，则这个多边形的内角和为度.

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13. 关于x的一元二次方程x²﹣5x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝.

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14. 如图是一架梯子的示意图，其中AA₁∥BB₁∥CC₁∥DD₁ ，且AB＝BC＝CD.为使其更稳固，在A，D₁间加绑一条安全绳（线段AD₁）量得AE＝0.4m，则AD₁＝m.

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15. 如图，方老师用一张半径为18cm的扇形纸板，做了一个圆锥形帽子（接缝忽略不计）.如果圆锥形帽子的半径是10cm，那么这张扇形纸板的面积是 cm²（结果用含π的式子表示）.

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16. 如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，sinA＝ $\text{[math]}$ ，BD⊥AC交AC于点D.点P为线段BD上的动点，则PC+ $\text{[math]}$ PB的最小值为 .

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三、解答题（17～19题每题6分，20～23题每题8分，24～25题每题10分，26题12分，共82分）

17. 计算：（2021﹣π）⁰﹣|2﹣ $\text{[math]}$ |+（ $\text{[math]}$ ）^﹣¹•tan60°.

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18. 先化简，再求值：（ $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ ）÷ $\text{[math]}$ ，其中a＝ $\text{[math]}$ .

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19. 如图，四边形ABCD中，AB＝DC，将对角线AC向两端分别延长至点E，F，使AE＝CF.连接BE，DF，若BE＝DF.证明：四边形ABCD是平行四边形.

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20. 我市为加快推进生活垃圾分类工作，对分类垃圾桶实行统一的外型、型号、颜色等，其中，可回收物用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶.为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图.

根据图中信息，解答下列问题：
1. （1）此次调查一共随机采访了名学生，在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为度；
2. （2）补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
3. （3）若该校有3600名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数；
4. （4）李老师计划从A，B，C，D四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中A，B两人的概率.
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21. 如图，莽山五指峰景区新建了一座垂直观光电梯.某测绘兴趣小组为测算电梯AC的高度，测得斜坡AB＝105米，坡度i＝1：2，在B处测得电梯顶端C的仰角α＝45°，求观光电梯AC的高度.
（参考数据： $\text{[math]}$ ≈1.41， $\text{[math]}$ ≈1.73， $\text{[math]}$ ≈2.24.结果精确到0.1米）

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22. “七•一”建党节前夕，某校决定购买A，B两种奖品，用于表彰在“童心向党”活动中表现突出的学生.已知A奖品比B奖品每件多25元，预算资金为1700元，其中800元购买A奖品，其余资金购买B奖品，且购买B奖品的数量是A奖品的3倍.
1. （1）求A，B奖品的单价；
2. （2）购买当日，正逢该店搞促销活动，所有商品均按原价八折销售，故学校调整了购买方案：不超过预算资金且购买A奖品的资金不少于720元，A，B两种奖品共100件，求购买A，B两种奖品的数量，有哪几种方案？
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23. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，点D是 $\text{[math]}$ 的中点，DE∥BC交AC的延长线于点E.
1. （1）求证：直线DE与⊙O相切；
2. （2）若⊙O的直径是10，∠A＝45°，求CE的长.
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24. 某商店从厂家以每件2元的价格购进一批商品，在市场试销中发现，此商品的月销售量y（单位：万件）与销售单价x（单位元）之间有如下表所示关系：

x

…

4.0

5.0

5.5

6.5

7.5

…

y

…

8.0

6.0

5.0

3.0

1.0

…
1. （1）根据表中的数据，在如图中描出实数对（x，y）所对应的点，并画出y关于x的函数图象；
2. （2）根据画出的函数图象，求出y关于x的函数表达式；
3. （3）设经营此商品的月销售利润为P（单位：万元），
  ①写出P关于x的函数表达式；
  
  ②该商店计划从这批商品获得的月销售利润为10万元（不计其它成本），若物价局限定商品的销售单价不得超过进价的200%，则此时的销售单价应定为多少元？
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25. 如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点E，F分别为AB，AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），将线段AH绕点A逆时针方向旋转90°得到AG，连接GC，HB.
1. （1）证明：△AHB≌△AGC；
2. （2）如图2，连接GF，HG，HG交AF于点Q.
  ①证明：在点H的运动过程中，总有∠HFG＝90°；
  
  ②若AB＝AC＝4，当EH的长度为多少时△AQG为等腰三角形？
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26. 将抛物线y＝ax²（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y＝a（x﹣h）²+k.抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C.已知A（﹣3，0），点P是抛物线H上的一个动点.
1. （1）求抛物线H的表达式；
2. （2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线H上运动（不与A，C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E.作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值；
3. （3）如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由.
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