如图，在矩形中，点是上的一个动点，连结，作点关于的对称点，且点落在矩形的内部，连结，，，过点作交于点，设，

当前位置：初中数学 / 综合题

1. (2020九上·拱墅月考) 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的一个动点，连结 $\text{[math]}$ ，作点 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的对称点 $\text{[math]}$ ，且点 $\text{[math]}$ 落在矩形 $\text{[math]}$ 的内部，连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ，
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
3. （2）当点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 上时，用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示 $\text{[math]}$ 的值.

能力提升真题演练换一批

1. (2021九上·定海期末) 摇椅是老年人很好的休闲工具，右图是一张摇椅放在客厅的侧面示意图，摇椅静止时，以O为圆心OA为半径的弧AB的中点P着地，地面NP与弧AB相切，已知∠AOB=60°，半径OA=60cm，靠背CD与OA的夹角∠ACD=127°，C为OA的中点，CD=80cm，当摇椅沿弧AB滚动至点A着地时是摇椅向后的最大安全角度．

（精确到1cm，参考数据π取3.14，sin37°=0.60，cos37°=0.80，tan37°=0.75，sin67°=0.92，cos67°=0.39，tan67°=2.36， $\text{[math]}$ =1.41， $\text{[math]}$ =1.73）
1. （1）静止时靠背CD的最高点D离地面多高？
2. （2）静止时着地点P至少离墙壁MN的水平距离是多少时？才能使摇椅向后至最大安全角度时点D不与墙壁MN相碰．
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2. (2021九上·东港期中) 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上一点，且△ACE是等边三角形．
1. （1）求证：四边形ABCD是菱形；
2. （2）若∠AED＝2∠EAD，AB＝a，求四边形ABCD的面积．
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3. (2023九上·市南区月考) 如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP ．设点P、Q运动的时间为ts．
1. （1）当t＝时，四边形ABQP是矩形；
2. （2）当t＝时，四边形AQCP是菱形；
3. （3）是否存在某一时刻t使得PQ⊥PC ，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由．
4. （4）在运动过程中，沿着AQ把△ABQ翻折，当t为何值时，翻折后点B的对应点 $\text{[math]}$ 恰好落在PQ边上。
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1. (2021·柳州) 如图，四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，以A为圆心， $\text{[math]}$ 为半径作圆，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点E，连结 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点G.
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的切线；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）求线段 $\text{[math]}$ 的长.
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2. (2022·玉林) 如图，已知抛物线： $\text{[math]}$ 与x轴交于点A， $\text{[math]}$ （A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线 $\text{[math]}$ ，P是第一象限内抛物线上的任一点．
1. （1）求抛物线的解析式；
2. （2）若点D为线段 $\text{[math]}$ 的中点，则 $\text{[math]}$ 能否是等边三角形？请说明理由；
3. （3）过点P作x轴的垂线与线段 $\text{[math]}$ 交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与 $\text{[math]}$ 相似，求点P的坐标．
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3. (2021·绍兴) 问题：如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，求EF的长.

答案： $\text{[math]}$ .
1. （1）探究：把“问题”中的条件“ $\text{[math]}$ ”去掉，其余条件不变.
  
  ①当点E与点F重合时，求AB的长；
  
  ②当点E与点C重合时，求EF的长.
2. （2）把“问题”中的条件“ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求 $\text{[math]}$ 的值.
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