在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于(p，0)，(q，0)，则该抛物线的解析式可以表示为： y=a(x-p)(x-q)， =ax2-a(p+q)x+apq.

1. (2020·河池) 在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于(p，0)，(q，0)，则该抛物线的解析式可以表示为：
y=a(x-p)(x-q)，

=ax²-a(p+q)x+apq.
1. （1）若a=1，抛物线与x轴交于(1，0)，(5，0)，直接写出该抛物线的解析式和顶点坐标；
3. （2）若a=-1，如图（1），A(-1，0)，B(3，0)，点M(m，0)在线段AB上，抛物线C₁与x轴交于A，M，顶点为C；抛物线C₂与x轴交于B，M，顶点为D.当A，C，D三点在同一条直线上时，求m的值；
5. （3）已知抛物线C₃与x轴交于A(-1，0)，B(3，0)，线段EF的端点E(0，3)，F(4，3).若抛物线C₃与线段EF有公共点，结合图象，在图（2）中探究a的取值范围.

能力提升真题演练换一批

1. (2023·衡水模拟) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点（点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的左侧），与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为抛物线 $\text{[math]}$ 的对称轴右侧图象上的一点（不含顶点）．
1. （1） $\text{[math]}$ 的值为，抛物线的顶点坐标为；
2. （2）设抛物线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 之间的部分（含点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ）的最高点与最低点的纵坐标之差为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数表达式，并写出自变量 $\text{[math]}$ 的取值范围；
3. （3）若点 $\text{[math]}$ 的坐标满足 $\text{[math]}$ 时，连接 $\text{[math]}$ ，将直线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 围成的封闭图形记为 $\text{[math]}$ ．
  ①求点 $\text{[math]}$ 的坐标；
  ②直接写出封闭图形 $\text{[math]}$ 的边界上的整点（横、纵坐标都是整数）的个数．
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2. (2023·高明模拟) 如图，计划利用长为a米的篱笆，再借助外墙围成一个矩形栅栏，设矩形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 长为x米，面积为y平方米.
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，墙长为50米，求出y与x之间的关系，并指出x的取值范围；
2. （2）在（1）的条件下，矩形 $\text{[math]}$ 的面积能达到800平方米吗？说明理由；
3. （3）当x与a满足什么关系时，栅栏围出的面积最大？最大值是多少？
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3. (2023·石家庄模拟) 如图，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为常数）．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的表达式及顶点坐标；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 经过坐标原点时，设 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的另一个交点为点 $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 的面积是 $\text{[math]}$ 面积的2倍？若存在，求出此时点 $\text{[math]}$ 的坐标，若不存在，说明理由；
3. （3）若 $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 只有一个交点，直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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1. (2021·大庆) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于除原点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，且其顶点 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 轴的对称点坐标为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线的函数表达式；
2. （2）抛物线的对称轴上存在定点F，使得抛物线 $\text{[math]}$ 上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线 $\text{[math]}$ 的距离总相等．
  ①证明上述结论并求出点F的坐标；
  
  ②过点F的直线l与抛物线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点．证明：当直线l绕点F旋转时， $\text{[math]}$ 是定值，并求出该定值；
3. （3）点 $\text{[math]}$ 是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点 $\text{[math]}$ ，使四边形 $\text{[math]}$ 周长最小，直接写出 $\text{[math]}$ 的坐标．
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2. (2021·衡阳) 如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成.小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为 $\text{[math]}$ ，单层部分的长度为 $\text{[math]}$ .经测量，得到下表中数据.

双层部分长度 $\text{[math]}$

2

8

14

20

单层部分长度 $\text{[math]}$

148

136

124

112
1. （1）根据表中数据规律，求出y与x的函数关系式；
2. （2）按小文的身高和习惯，背带的长度调为 $\text{[math]}$ 时为最佳背带长.请计算此时双层部分的长度；
3. （3）设背带长度为 $\text{[math]}$ ，求L的取值范围.
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3. (2021·德阳) 如图，已知：抛物线y＝x²+bx+c与直线l交于点A（﹣1，0），C（2，﹣3），与x轴另一交点为B.
1. （1）求抛物线的解析式；
2. （2）在抛物线上找一点P，使△ACP的内心在x轴上，求点P的坐标；
3. （3） M是抛物线上一动点，过点M作x轴的垂线，垂足为N，连接BM.在（2）的条件下，是否存在点M，使∠MBN＝∠APC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
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