如图，有一池塘要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C ，连接AC并延长到D ，使连接BC并延长到E ，使连接DE ，那么量出DE的长，就是A、B的距离请说明DE的长就是A、B的

1. (2019·南通) 如图，有一池塘 $\text{[math]}$ 要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C ，连接AC并延长到D ，使 $\text{[math]}$ 连接BC并延长到E ，使 $\text{[math]}$ 连接DE ，那么量出DE的长，就是A、B的距离 $\text{[math]}$ 请说明DE的长就是A、B的距离的理由.

基础巩固能力提升变式训练拓展培优真题演练换一批

1. (2023·乌鲁木齐模拟) 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为 _ ．

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2. 如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和点B，连结AC并延长至点D，使CD=CA，连结BC并延长至点E，使CE=CB，连结.DE，那么量出DE的长就是A，B的距离.为什么？请结合解题过程，完成本题的证明.
证明：在ADEC和△ABC中，
∵ $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ （）
∴

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3. (2022·攀枝花) 同学们在探索“多边形的内角和”时，利用了“三角形的内角和”.请你在不直接运用结论“n边形的内角和为 $\text{[math]}$ ”计算的条件下，利用“一个三角形的内角和等于180°”，结合图形说明：五边形 $\text{[math]}$ 的内角和为540°.

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1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中，CE平分 $\text{[math]}$ ，交AD于点E，DF平分 $\text{[math]}$ ，交BC于点F，CE与DF交于点 $\text{[math]}$ ，连结EF，BP
1. （1）求证：四边形CDEF是菱形.
2. （2）若AB=2，BC=3，∠A=120°，求BP的值.
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2. (2020·河南模拟) 如图，△OA₁B₁ ， △B₁A₂B₂是等边三角形，点A₁ ， A₂在函数 $\text{[math]}$ 的图象上，点B₁ ， B₂在x轴的正半轴上，分别求△OA₁B₁ ， △B₁A₂B₂的面积.

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3. (2023·凤庆模拟) 如图， $\text{[math]}$ 为菱形 $\text{[math]}$ 的对角线，点E在 $\text{[math]}$ 的延长线上，且 $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ．

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1. (2021·息县模拟) 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝6，点D是AC上一动点，连接BD，将△ABD沿BD折叠，点A落在A′处，当点A′在△ABC内部（不含边界）时，AD长的取值范围.

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2. (2023·郧西模拟) 如图，正方形 $\text{[math]}$ 的边长为1，以 $\text{[math]}$ 为边作第二个正方形 $\text{[math]}$ ，再以 $\text{[math]}$ 为边作第三个正方形 $\text{[math]}$ …，按照这样规律作下去，第10个正方形的边长为.

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3. (2022·南关模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．用无刻度的直尺和圆规在AB边上找一点D，使 $\text{[math]}$ ，则符合要求的作图是（）

A . B . C . D .

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1. (2023·即墨模拟) 如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D，E分别是边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ．将 $\text{[math]}$ 绕点C逆时针方向旋转，记旋转角为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）问题发现
  ①当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；
  ②当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；
2. （2）拓展探究：试判断当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；
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2. (2021九上·青岛开学考) （实际问题）小明家住 $\text{[math]}$ 楼．一天，他要把一根 $\text{[math]}$ 米长的竹竿放入电梯带回家中，如果竹竿恰好刚能放入电梯中（如图①示）那么，电梯的长、宽、高和的最大值是多少米？

（类比探究）为了解决这个实际问题，我们首先探究下面的数学问题．

探究：如图②，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之有什么数量关系？

解：在 $\text{[math]}$ 中，

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均大于 $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系是 $\text{[math]}$ ．
1. （1）探究2：如图③，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是对角线， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间有什么数量关系？
  
  解： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
  
  $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
  
  $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
  
  $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
  
  $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
  
  将上面三式相加得， $\text{[math]}$ ，
  
  $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
  
  $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
  
  $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
  
  $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均大于 $\text{[math]}$ ，
  
  $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间有这样的数量关系： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
2. （2）探究3：如图④，仿照上面的方法探究，在五边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是对角线， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系是．
3. （3）当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系是．
4. （4）小明家住 $\text{[math]}$ 楼一天，他要把一根 $\text{[math]}$ 米长的竹竿放入电梯带回家中，如果竹竿恰好刚能放入电梯中（如图①示），那么，电梯的长、宽、高和的最大值是米．
5. （5）公园准备修建一个四边形水池，边长分别为 $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米，分别以水池四边为边向外建四个正方形花园，若花园面积和为 $\text{[math]}$ 平方米，则水池的最大周长为米．
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3. (2023八上·兰溪月考) 如图，已知∠AOB＝α，在射线OA、OB上分别取A、B₁ ，使OA＝OB₁ ，连接AB₁ ，在B₁A、B₁B上分别取点A₁、B₂ ，使B₁B₂＝B₁A₁ ，连接A₁B₁…按此规律下去，记∠A₁B₁B₂＝θ₁ ， ∠A₂B₂B₃＝θ₂ ， …，∠A_nB_nB_n+1＝θ_n ，则：
1. （1） θ₁＝；
2. （2） θ_n＝.
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1. (2021·江西) 如图，将 $\text{[math]}$ 沿对角线 $\text{[math]}$ 翻折，点 $\text{[math]}$ 落在点 $\text{[math]}$ 处， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的周长为．

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2. (2017·通辽) 在▱ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于E，DF平分∠ADC交边BC于F，若AD=11，EF=5，则AB=．

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3. (2022·襄阳) 已知⊙O的直径AB长为2，弦AC长为 $\text{[math]}$ ，那么弦AC所对的圆周角的度数等于．

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