2023年中考数学探究性试题复习3 新定义

更新时间：2023-05-20 浏览次数：109 类型：三轮冲刺

一、单选题

1. (2023·历城模拟) 定义：在平面直角坐标系中，若点A满足横、纵坐标都为整数，则把点A叫做“整点”．如：B（3，0）、C（-1，3）都是“整点”．抛物线y＝ax²-2ax+a+2（a＜0）与x轴交于点M，N两点，若该抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点，则a的取值范围是（）

A . -1≤a＜0 B . -2≤a＜-1 C . -1≤a＜ $\text{[math]}$ D . -2≤a＜0

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2. (2023·广西模拟) 对于任意实数m，n，如果满足 $\text{[math]}$ ，那么称这一对数m，n为“完美数对”，记为 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ 是“完美数对”，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 2 B . 3 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2023·黔江模拟) 对于三个数a、b、c，P{a，b，c}表示这三个数的平均数，min{a，b，c}表示a、b、c这三个数中最小的数，max{a，b，c}表示这三个数中最大的数，例如：P{-1，2，3}＝ $\text{[math]}$ ， min{-1，2，3}＝-1，max{-2，-1，a}＝ $\text{[math]}$ .
下列判断：
①P $\text{[math]}$ ；②max $\text{[math]}$ ；③若min{2，2x+2，4-2x}＝2，则0＜x＜1；④若P{2，x+1，2x}＝min{2，x+1，2x}，仅有唯一解x＝1；⑤max{x+1，（x-1）² ， 2-x}的最小值为 $\text{[math]}$ .其中正确的是（）

A . ②③④⑤ B . ①②④⑤ C . ②③⑤ D . ②④⑤

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4. (2022·娄底) 若 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 是以10为底 $\text{[math]}$ 的对数.记作： $\text{[math]}$ .例如： $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .对数运算满足：当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，例如： $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 5 B . 2 C . 1 D . 0

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5. (2022·重庆) 对多项式x-y-z-m-n任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：(x-y)-(z-m-n)=x-y-z+m+n，x-y-(z-m)-n = x-y-z+m-n，……，
给出下列说法：

①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等； ②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0； ③所有的“加算操作”共有 8 种不同的结果．以上说法中正确的个数为（）

A . 0 B . 1 C . 2 D . 3

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二、填空题

6. (2023·临淄模拟) 华罗庚说过：“复杂的问题要善于‘退’，足够地‘退’，‘退’到最原始而不失重要性的地方，是学好数学的一个诀窍．”可见，复杂的问题有时要“退”到本质上去研究．如图，已知抛物线 $\text{[math]}$ 的图象与f的图象关于直线 $\text{[math]}$ 对称，我们把探索线的变化规律“退”到探索点的变化规律上去研究，可以得到图象f所对应的关于x与y的关系式为 $\text{[math]}$ ．若抛物线 $\text{[math]}$ 与g的图象关于 $\text{[math]}$ 对称，则图象g所对应的关于x与y的关系式为．

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7. (2023·东莞模拟) 我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如表是两种运算对应关系的一组实例：
指数运算
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
新运算
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
根据上表规律，某同学写出了三个式子：① $\text{[math]}$ ， ② $\text{[math]}$ ， ③ $\text{[math]}$ ．
其中正确的是．

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8. (2023·嘉祥模拟) 若a是不为2的有理数我们把 $\text{[math]}$ 称为a的“哈利数”．如3的“哈利数”是 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ 的“哈利数”是 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的“哈利数”， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的“哈利数”， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的“哈利数”，以此类推， $\text{[math]}$ ．

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9. (2023·商河模拟) 对数的定义：一般地，若 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ），那么 $\text{[math]}$ 叫做以 $\text{[math]}$ 为底 $\text{[math]}$ 的对数，记作 $\text{[math]}$ ，比如指数式 $\text{[math]}$ 可以转化为对数式 $\text{[math]}$ ，对数式 $\text{[math]}$ ，可以转化为指数式 $\text{[math]}$ ．计算 $\text{[math]}$ ．

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10. (2023·平阴模拟) 平面直角坐标系中，若点P的坐标为 $\text{[math]}$ ，点Q的坐标为 $\text{[math]}$ ，其中m为常数，则称点Q是点P的m级派生点，例如点 $\text{[math]}$ 的3级派生点是 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ．如图点 $\text{[math]}$ 是点 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 级派生点，点A在x轴上，且 $\text{[math]}$ ，则点A的坐标为．

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11. (2023·济阳模拟) 我们规定：使得 $\text{[math]}$ 成立的一对数a，b为“差积等数对”，记为 $\text{[math]}$ ．例如，因为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，所以数对 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都是“差积等数对”，若 $\text{[math]}$ 是“差积等数对”，则k的值是．

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12. (2023·奉贤模拟) 我们知道四边形具有不稳定性，容易变形（给定四边形各边的长，其形状和大小不确定）．如图，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形中较小的内角为 $\text{[math]}$ ，我们把 $\text{[math]}$ 的值叫做这个平行四边形的“变形系数”．如果矩形的面积为 $\text{[math]}$ ，其变形后的平行四边形的面积为 $\text{[math]}$ ，那么这个平行四边形的“变形系数”是．

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13. (2022·松江模拟) 定义：在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，O为坐标原点，对于任意两点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 称 $\text{[math]}$ 的值为P、Q两点的“直角距离”．直线 $\text{[math]}$ 与坐标轴交于A、B两点，Q为线段 $\text{[math]}$ 上与点A、B不重合的一点，那么O、Q两点的“直角距离”是．

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三、综合题

14. (2023·保定模拟) 定义：对于一个三位正整数，如果十位数字恰好等于百位数字与个位数字之和的一半，我们称这个三位正整数为“半和数”．
例如，三位正整数234，因为 $\text{[math]}$ ，所以234是“半和数”．
1. （1）判断147是否为“半和数”，并说明理由；
2. （2）小林列举了几个“半和数”：111、123、234、840…，并且她发现： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ …，所以她猜测任意一个“半和数”都能被3整除．小林的猜想正确吗？若正确，请你帮小林说明该猜想的正确性；若错误，说明理由．
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15. (2023·城阳模拟) 对于某些三角形，我们可以直接用面积公式或是用割补法等来求它们的面积，下面我们研究一种求面积的新方法：如图1所示，分别过三角形的顶点A、C作水平线的铅垂线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间的距离d叫做水平宽；如图1所示，过点B作水平线的铅垂线交 $\text{[math]}$ 于点D，称线段 $\text{[math]}$ 的长叫做这个三角形的铅垂高；
结论提炼：容易证明，“三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半”，即“ $\text{[math]}$ ”．
尝试应用：
1. （1）已知：如图2，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的水平宽为，铅垂高为，所以 $\text{[math]}$ 的面积为．
2. （2）如图3，在平面直角坐标系中，抛物线的解析式为： $\text{[math]}$ ，点B为抛物线的顶点，图象与y轴交于点A，与x轴交于E、C两点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的铅垂高，延长 $\text{[math]}$ 交x轴于点F，则顶点B坐标为，铅垂高 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为．
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16. (2023·开江模拟) 定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”，例如：点 $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的图像的“等值点”.
1. （1）分别判断函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的图像上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
2. （2）设函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的图像的“等值点”分别为点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴，垂足为 $\text{[math]}$ .当 $\text{[math]}$ 的面积为3时，求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）若函数 $\text{[math]}$ 的图像记为 $\text{[math]}$ ，将其沿直线 $\text{[math]}$ 翻折后的图像记为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两部分组成的图像上恰有2个“等值点”时，直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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17. (2023·福田模拟) 【材料阅读】在等腰三角形中，我们把底边与腰长的比叫做顶角的张率(scop)．如图11-1，在△XYZ中，XY＝XZ，顶角X的张率记作 $\text{[math]}$ ，容易知道一个角的大小与这个角的张率也是相互唯一确定的，所以，类比三角函数，我们可按上述方式定义∠α(0°<∠α<180°)的张率，例如，scop60°＝1，scop90°＝ $\text{[math]}$ ，请根据材料，完成以下问题：
如图11-2，P是线段AB上的一动点(不与点A，B重合)，点C，D分别是线段AP，BP的中点，以AC，CD，DB为边分别在AB的同侧作等边三角形△ACE，△CDF，△DBG，连接PE和PG.
1. （1）【理解应用】①若等边三角形△ACE，△CDF，△DBG的边长分别为a，b，c，则a，b，c三者之间的关系为；②scop∠EPG＝；
2. （2）【猜想证明】如图11-3，连接EF，FG，猜想scop∠EFG的值是多少，并说明理由；
3. （3）【拓展延伸】如图11-4，连接EF，EG，若AB＝12，EF= $\text{[math]}$ ，则△EPG的周长是多少？此时AP的长为多少？（可直接写出上述两个结果），
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18. (2022·敖汉旗模拟) 阅读下列材料，按要求解答问题：
阅读理解：若p、q、m为整数，且三次方程 $\text{[math]}$ 有整数解c，则将c代入方程得： $\text{[math]}$ ，移项得： $\text{[math]}$ ，即有： $\text{[math]}$ ，由于 $\text{[math]}$ 与c及m都是整数，所以c是m的因数．
上述过程说明：整数系数方程 $\text{[math]}$ 的整数解只可能是m的因数．
例如：方程 $\text{[math]}$ 中－2的因数为±1和±2，将它们分别代入方程 $\text{[math]}$ 进行验证得：x=－2是该方程的整数解，－1、1、2不是方程的整数解．
解决问题：
①根据上面的学习，请你确定方程 $\text{[math]}$ 的整数解只可能是哪几个整数？
②方程 $\text{[math]}$ 是否有整数解？若有，请求出其整数解；若没有，请说明理由.

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19. (2023·黔江模拟) 阅读以下材料：指数与对数之间有密切的联系，它们之间可以互化.
对数的定义：一般地，若 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ），那么x叫做以a为底N的对数，记作 $\text{[math]}$ ，比如指数式 $\text{[math]}$ 可以转化为对数式 $\text{[math]}$ ，对数式 $\text{[math]}$ ，可以转化为指数式 $\text{[math]}$ .
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
$\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），理由如下：
设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ，由对数的定义得 $\text{[math]}$
又 $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ .
请解决以下问题：
1. （1）将指数式 $\text{[math]}$ 转化为对数式；
2. （2）求证： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）；
3. （3）拓展运用：计算 $\text{[math]}$ .
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20. (2022·兰州) 在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ 是第一象限内一点，给出如下定义： $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k．
1. （1）求点 $\text{[math]}$ 的“倾斜系数”k的值；
2. （2） ①若点 $\text{[math]}$ 的“倾斜系数” $\text{[math]}$ ，请写出a和b的数量关系，并说明理由；
  ②若点 $\text{[math]}$ 的“倾斜系数” $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求OP的长；
3. （3）如图，边长为2的正方形ABCD沿直线AC： $\text{[math]}$ 运动， $\text{[math]}$ 是正方形ABCD上任意一点，且点P的“倾斜系数” $\text{[math]}$ ，请直接写出a的取值范围．
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21. (2022·重庆) 对于一个各数位上的数字均不为 0 的三位自然数 N，若 N 能被它的各数位上的数字之和 m 整除，则称 N 是 m 的“和倍数”．
例如：∵247÷(2+4+7)= 247÷13=19，∴247是13的“和倍数”.

又如： ∵214÷(2+1+4)=214÷7=30……4，∴214不是“和倍数”.
1. （1）判断 357，441 是否是“和倍数”？说明理由；
2. （2）三位数 A是12的“和倍数”，a，b，c 分别是数 A其中一个数位上的数字，且 a>b>c在 a，b，c 中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为 F (A)，最小的两位数记为 G(A)，若 $\text{[math]}$ 为整数，求出满足条件的所有数 A．
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22. (2022·蚌埠模拟) 【问题】探究一次函数y＝kx+k+1（k≠0）图象特点．
【探究】可做如下尝试：
y＝kx+k+1＝k（x+1）+1，当x＝﹣1时，可以消去k，求出y＝1．
【发现】结合一次函数图象，发现无论k取何值，一次函数y＝kx+k+1的图象一定经过一个固定的点，该点的坐标是 ▲ ；
【应用】一次函数y＝（k+2）x+k的图象经过定点P．
①点P的坐标是 ▲ ；
②已知一次函数y＝（k+2）x+k的图象与y轴相交于点A，若△OAP的面积为3，求k的值．

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23. (2022八下·长沙开学考) 数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”.
材料一：把根式 $\text{[math]}$ 进行化简，若能找到两个数m、n，是 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，则把 $\text{[math]}$ 变成 $\text{[math]}$ ，开方，从而使得 $\text{[math]}$ 化简.

例如：化简 $\text{[math]}$

解：∵ $\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$

材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'）给出如下定义：若 $\text{[math]}$ ，则称Q点为P点的“横负纵变点”.例如点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（ $\text{[math]}$ ，5）的“横负纵变点”为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）.

请选择合适的材料解决下面的问题：
1. （1）点（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）的“横负纵变点”为；
2. （2）化简： $\text{[math]}$ ；
3. （3）已知a为常数（ $\text{[math]}$ ），点M（ $\text{[math]}$ ，m）且 $\text{[math]}$ ，点M'是点M的“横负纵变点”，求点M'的坐标.
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试卷信息

小学

初中

高中

2023年中考数学探究性试题复习3 新定义

副标题：

*注意事项：

2023年中考数学探究性试题复习3 新定义

数学考试

试题分析

总体分析

题量分析

难度分析

知识点分析

指数运算	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
新运算	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$