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初中数学浙教版八下数学综合题优生特训1

更新时间：2022-06-11 浏览次数：36 类型：复习试卷

一、综合题

1. (2022八下·长沙开学考) 如图，平面直角坐标系中，已知 $\text{[math]}$ ，且a、b满足 $\text{[math]}$ .
1. （1）求A点的坐标；
2. （2）如图1，已知点F(1，0)，点A、D关于x轴对称，连接AD交x轴于E，OG⊥OD交AF的延长线于G，求AF：GF的值；
3. （3）如图2若点F(1，0)、C(0，3)，连AC、FC，试确定∠ACO+∠FCO的值是否发生变化？若不变，说明理由；若变化，请求出变化范围.
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2. (2022八下·长沙开学考) 数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”.
材料一：把根式 $\text{[math]}$ 进行化简，若能找到两个数m、n，是 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，则把 $\text{[math]}$ 变成 $\text{[math]}$ ，开方，从而使得 $\text{[math]}$ 化简.

例如：化简 $\text{[math]}$

解：∵ $\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$

材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'）给出如下定义：若 $\text{[math]}$ ，则称Q点为P点的“横负纵变点”.例如点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（ $\text{[math]}$ ，5）的“横负纵变点”为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）.

请选择合适的材料解决下面的问题：
1. （1）点（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）的“横负纵变点”为；
2. （2）化简： $\text{[math]}$ ；
3. （3）已知a为常数（ $\text{[math]}$ ），点M（ $\text{[math]}$ ，m）且 $\text{[math]}$ ，点M'是点M的“横负纵变点”，求点M'的坐标.
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3. 观察下列等式：
① $\text{[math]}$ .

② $\text{[math]}$ .

③ $\text{[math]}$ .

根据上述等式的规律解次下列问题：
1. （1）完成第4个等式： $\text{[math]}$
2. （2）写出你猜想的第 $\text{[math]}$ 个等式(用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示），并证明其正确性.
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4. 设a= $\text{[math]}$ ，b=2，c= $\text{[math]}$ ．
1. （1）当a有意义时，求x的取值范围；
2. （2）若a，b，c为直角三角形ABC的三边长，试求x的值．
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5. (2021八下·鼓楼期末) （性质认识）
如图，在函数 $\text{[math]}$ 的图象上任取两点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 向坐标轴作垂直，连接垂足 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，则一定有如下结论： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）（数学理解）如图①，借助（性质认知）的结论，猜想 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ （填“>”、“=”或“<”）；
2. （2）如图②，借助（性质认知）的结论，证明： $\text{[math]}$ ；
3. （3）（问题解决）如图③，函数 $\text{[math]}$ 的图象与过原点的直线相交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，点 $\text{[math]}$ 是第一象限内图象上的动点（点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的左侧），直线 $\text{[math]}$ 分别交于 $\text{[math]}$ 轴、 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 分别交 $\text{[math]}$ 轴、 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ .请证明： $\text{[math]}$ .
4. （4）在第（3）问中，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .
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6. (2021八下·沧县期中) 在数学课外学习活动中，嘉琪遇到一道题：已知 $\text{[math]}$ ，求2a²﹣8a+1的值．他是这样解答的：
∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
∴（a﹣2）²＝3，即a²﹣4a+4＝3．
∴a²﹣4a＝﹣1．
∴2a²﹣8a+1＝2（a²﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据嘉琪的解题过程，解决如下问题：
1. （1）试化简 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ；
2. （2）化简 $\text{[math]}$ ；
3. （3）若 $\text{[math]}$ ，求4a²﹣8a+1的值．
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7. (2021八下·中山期中) 如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝acm，BC＝bcm，b满足 $\text{[math]}$ ，若动点P从A点出发，以每秒0.5cm的速度沿线段AD向点D运动；点Q从C点出发以每秒2cm的速度沿CB方向运动，动点P、Q同时停止运动，回答下列问题：
1. （1） AD＝cm，BC＝cm．
2. （2）设点P、Q同时出发，并运动了x秒，求当x为多少秒时，四边形PQCD成为平行四边形？
3. （3）如图2，若四边形ABCD变为平行四边形ABCD，AD＝BC＝6cm，以每秒0.5cm的速度沿线段AD向点D运动；动点Q从C点出发以每秒2cm的速度在BC间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），求当t为多少秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
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8. (2021八下·昭通期中) 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 这样的式子其实我们还可以将其进一步化简：
$\text{[math]}$ ；
$\text{[math]}$ ．
以上这种将分母中含有的根号化去的过程叫做分母有理化其中 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 分别称为 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的有理数化因式．
1. （1）请将式子 $\text{[math]}$ 化简．
2. （2）化简： $\text{[math]}$ ．
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9. (2021八下·甘井子期中) 探究：
1. （1）计算下列各式，并判断结果大小；
  ① $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；
  
  ② $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；
  
  ③ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
2. （2）根据你发现的规律，再写出一个类似的式子；
3. （3）用字母表示这一规律，并给出证明．
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10. (2021八下·株洲开学考) 先阅读，再解答问题：
恒等变形，是代数式求值的一个很重要的方法.利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式.
例如：当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值.
为解答这道题，若直接把 $\text{[math]}$ 代入所求的式中，进行计算，显然很麻烦，我们可以通过恒等变形，对本题进行解答.
方法：将条件变形，因 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算.
由 $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
原式 $\text{[math]}$ .
请参照以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题：
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）已知 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.
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11. (2020八下·随县期末) 在进行二次根式的化简时，我们有时会碰上如 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
$\text{[math]}$ ①

$\text{[math]}$ ②

$\text{[math]}$ ③

以上这种化简的方法称之为分母有理化.

$\text{[math]}$ 还可以用以下方法化简：

$\text{[math]}$ ④
1. （1）请你根据上面的方法化简： $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ；
2. （2）请参照③式，化简 $\text{[math]}$ ；
3. （3）请参照④式，化简 $\text{[math]}$ ；
4. （4）化简： $\text{[math]}$
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12. (2020八下·曾都期末) 阅读下列材料，解答后面的问题：我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积.用现代式子表示即为： $\text{[math]}$ ……①（其中 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为三角形的三边长， $\text{[math]}$ 为面积）.而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的“海伦公式”： $\text{[math]}$ ……②（其中 $\text{[math]}$ ）
1. （1）若已知三角形的三边长分别为3，5，6，试分别运用公式①和公式②计算该三角形的面积 $\text{[math]}$ ；
2. （2）你能否由公式①推导出公式②？请试试写出推导过程.
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13. (2020八下·曲阜期末) “双剑合璧，天下无敌”，其意思是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也常有这种相辅相成的“对子”，如： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，它们的积中不含根号，我们说这两个二次根式是互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样解： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去的方法，叫做分母有理化．

解决下列问题：
1. （1）将 $\text{[math]}$ 分母有理化得； $\text{[math]}$ 的有理化因式是；
2. （2）化简： $\text{[math]}$ =；
3. （3）化简： $\text{[math]}$ ……+ $\text{[math]}$ ．
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14. (2020八下·厦门期末) 平面直角坐标系中，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴、 $\text{[math]}$ 轴分别交于点B、C，且 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ，不论 $\text{[math]}$ 为何值，直线 $\text{[math]}$ 都经过 $\text{[math]}$ 轴上一定点A．
1. （1） a=，b=；点A的坐标为；
2. （2）如图1，当 $\text{[math]}$ 时，将线段BC沿某个方向平移，使点B、C对应的点M、N恰好在直线 $\text{[math]}$ 和直线 $\text{[math]}$ 上，请你判断四边形BMNC的形状，并说明理由；
3. （3）如图2，当 $\text{[math]}$ 的取值发生变化时，直线 $\text{[math]}$ 绕着点A旋转，当它与直线 $\text{[math]}$ 相交的夹角为45°时，求出相应的 $\text{[math]}$ 的值．
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15. (2020八下·北京期中) 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如： $\text{[math]}$ ，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：
$\text{[math]}$ ．请你仿照小明的方法解决下列问题：
1. （1） $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
2. （2）已知 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的算术平方根，求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）当 $\text{[math]}$ 时，化简 $\text{[math]}$ ．
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16. (2020八下·南昌期中) 阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+2 $\text{[math]}$ =（1+ $\text{[math]}$ ）² ，善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b=（m+n $\text{[math]}$ ）²（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b $\text{[math]}$ =m²+2n²+2mn $\text{[math]}$ ．

∴a=m²+2n² ， b=2mn．这样小明就找到了一种把部分a+b $\text{[math]}$ 的式子化为平方式的方法．

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
1. （1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b $\text{[math]}$ =（m+n $\text{[math]}$ ）² ，用含m、n的式子分别表示a、b，得a=，b=；
2. （2）试着把7+4 $\text{[math]}$ 化成一个完全平方式．
3. （3）若a是216的立方根，b是16的平方根，试计算： $\text{[math]}$ ．
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17. (2020八下·公主岭月考) 阅读理解：
二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式．

例如：化简 $\text{[math]}$ ．

解：将分子、分母同乘以 $\text{[math]}$ 得： $\text{[math]}$ ．
1. （1）类比应用：
  ①化简： $\text{[math]}$ ；
  
  ②化简： $\text{[math]}$ ．
2. （2）拓展延伸：宽与长的比是 $\text{[math]}$ 的矩形叫黄金矩形．
  如图①，已知黄金矩形ABCD的宽AB=1．
  
  ①求黄金矩形ABCD的长BC；
  
  ②如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论；
  
  ③在图②中，连结AE，求点D到线段AE的距离．
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18. (2020八下·龙口期中) 在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息成为为显性条件；而有的信息不太明显需要结合图形，特殊式子成立的条件，实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件．
（阅读理解）

阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．

化简： $\text{[math]}$

解：隐含条件 $\text{[math]}$ 解得： $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ 原式 $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$
1. （1）启发应用：按照上面的解法，试化简： $\text{[math]}$ ；
2. （2）类比迁移：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简 $\text{[math]}$ ；
3. （3）已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的三边长，
  
  化简： $\text{[math]}$
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19. (2020八下·泰兴期中) 阅读材料：
基本不等式 $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ （a＞0，b＞0），当且仅当a＝b时等号成立，它是解决最值问题的有力工具.

例如：在x＞0的条件下，当x为何值时，x+ $\text{[math]}$ 有最小值，最小值是多少？

解：∵x＞0， $\text{[math]}$ ＞0∴ $\text{[math]}$ ≥ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ≥2 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ≥2

当且仅当x＝ $\text{[math]}$ ，即x＝1时，x+ $\text{[math]}$ 有最小值，最小值为2.

请根据阅读材料解答下列问题：
1. （1）已知x＞0，则当x为时，代数式3x+ $\text{[math]}$ 的最小值为；
2. （2）已知a＞0，b＞0，a²+b²=7，则ab的最大值为
3. （3）已知矩形面积为9，求矩形周长的最小值.
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20. (2020八下·扬州期中) 数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”.
材料一：平方运算和开方运算是互逆运算.如a²±2ab+b²＝（a±b）² ，那么 $\text{[math]}$ ，如何将双重二次根式 $\text{[math]}$ 化简.我们可以把 $\text{[math]}$ 转化为 $\text{[math]}$ 完全平方的形式，因此双重二次根式 $\text{[math]}$ 得以化简.

材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)和Q(x，y’)给出如下定义：若 $\text{[math]}$ 则称点Q为点P的“横负纵变点”.例如：点(3，2)的“横负纵变点”为(3，2)，点(﹣2，5)的“横负纵变点”为(﹣2，﹣5).问题：
1. （1）点 $\text{[math]}$ 的“横负纵变点”为，点 $\text{[math]}$ 的“横负纵变点”为；
2. （2）化简： $\text{[math]}$ ；
3. （3）已知a为常数（1≤a≤2），点M( $\text{[math]}$ ，m)是关于x的函数 $\text{[math]}$ 图像上的一点，点M’是点M的“横负纵变点”，求点M’的坐标.
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21. (2020八下·江夏月考) 如图，在平面直角坐标系中，点A( $\text{[math]}$ ，0)，AB⊥ $\text{[math]}$ 轴，且AB=10，点C（0，b）， $\text{[math]}$ ，b满足 $\text{[math]}$ .点P（t，0）是线段AO上一点（不包含A，O）
1. （1）当t=5时，求PB：PC的值；
2. （2）当PC+PB最小时，求t的值；
3. （3）请根据以上的启发，解决如下问题：正数m，n满足m+n=10，且正数 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，则正数 $\text{[math]}$ 的最小值=.
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22. (2020八下·沈阳月考) 观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：
$\text{[math]}$ …
1. （1）含n（n为正整数的关系式表示上述各式子的变形规律.并验证你的结论.
2. （2）利用上面的结论，求下列式子的值：
  $\text{[math]}$
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23. (2020八下·江苏月考) 甲是第七届国际数学教育大会的会徽，会徽的主体图案是由图乙中的一连串直角三角形演化而成的，其中OA₁＝A₁A₂＝A₂A₃＝…＝A₇A₈＝1.
细心观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题：

（ $\text{[math]}$ ）²＋1＝2，S₁＝ $\text{[math]}$ ；（ $\text{[math]}$ ）²＋1＝3，S₂＝ $\text{[math]}$ ；（ $\text{[math]}$ ）²＋1＝4，S₃＝ $\text{[math]}$ ；….
1. （1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律，并计算出OA₁₀的长；
2. （2）求出 $\text{[math]}$ 的值.
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24. 已知 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值;
2. （2）判断以 $\text{[math]}$ 为边能否构成三角形若能构成三角形,此三角形是什么形状?并求出三角形的面积，若不能,请说明理由.
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25. (2019八下·芜湖期中) 阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一式子的平方，如 $\text{[math]}$ ，然后小明以进行了以下探索：
设 $\text{[math]}$ （其中a，b，m，n均为整数），则有 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，这样小明找到了一种类似 $\text{[math]}$ 的式子化为平方式的方法．

请仿照小明的方法探索解决下列问题：
1. （1）当a，b，m，n均为整数时，若 $\text{[math]}$ ，则a=，b=；
2. （2）请找一组正整数，填空：+ $\text{[math]}$ =（+） $\text{[math]}$ ；
3. （3）若 $\text{[math]}$ ，且a，m，n均为正整数，求a的值．
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26. (2019八下·尚志期中) 如图1，在平面直角坐标系中，点 $\text{[math]}$ 是坐标原点， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 满足方程 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 两点坐标；
2. （2）如图2，过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发以每秒2个单位的速度向 $\text{[math]}$ 轴正半轴方向运动，设 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，请用含 $\text{[math]}$ 的式子表示 $\text{[math]}$ ，并直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围；
3. （3）在（2）的条件下，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折到 $\text{[math]}$ 的位置（点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 对应），当四边形 $\text{[math]}$ 为菱形时，求点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 的坐标.
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27. (2019八下·海安期中) 如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为a.直线y＝bx+c交x轴于E，交y轴于F，且a、b、c分别满足﹣（a﹣4）²≥0，c＝ $\text{[math]}$ +8.
1. （1）求直线y＝bx+c的解析式并直接写出正方形OABC的对角线的交点D的坐标；
2. （2）直线y＝bx+c沿x轴正方向以每秒移动1个单位长度的速度平移，设平移的时间为t秒，问是否存在t的值，使直线EF平分正方形OABC的面积？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
3. （3）点P为正方形OABC的对角线AC上的动点（端点A、C除外），PM⊥PO，交直线AB于M，求 $\text{[math]}$ 的值.
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28. (2019八下·梁子湖期中) 如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，5）， B（a，b），且a，b满足b＝ $\text{[math]}$ ＋ $\text{[math]}$ －1.
1. （1）如图，求线段AB的长；
2. （2）如图，直线CD与x轴、y轴正半轴分别交于点C，D，∠OCD＝45°，第四象限的点P（m，n）在直线CD上，且mn＝－6，求OP²－OC²的值；
3. （3）如图，若点D（1，0），求∠DAO ＋∠BAO的度数.
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29. (2019八下·东莞月考) 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+2 $\text{[math]}$ ，善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b $\text{[math]}$ (其中a、b、m、n均为整数)，

则有：a+b $\text{[math]}$ ，∴a＝m²+2n² ， b＝2mn ，这样小明就找到了一种把类似a+b $\text{[math]}$ 的式子化为平方式的方法．

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
1. （1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b $\text{[math]}$ ，用含m、n的式子分别表示a、b得：a＝，b＝；
2. （2）利用所探索的结论，用完全平方式表示出：7+4 $\text{[math]}$ ＝．
3. （3）请化简： $\text{[math]}$ .
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30. (2019八下·黄冈月考) （知识链接）斐波那契（约 1170﹣1250，意大利数学家）数列是按某种规律排列的一列数，他发现该数列中的每个正整数都可以用无理数的形式表示，如第 n（n 为正整数）个数 a_n 可表示为 $\text{[math]}$ .
1. （1）（知识运用）计算第一个数 a₁ 和第二个数 a₂；
2. （2）（探究证明）证明连续三个数之间 a_n﹣1，a_n ， a_n+1 存在以下关系：a_n+1﹣a_n=a_n﹣1（n≥2）.
3. （3）（探究拓展）根据上面的关系，请写出斐波那契数列中的前 8 个数.
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