如图，二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，以为边在轴上方作正方形，点是轴上一动点，连接，过点作的垂线与轴交于点．

1. (2019·衡阳) 如图，二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为边在 $\text{[math]}$ 轴上方作正方形 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 轴上一动点，连接 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的垂线与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求该抛物线的函数关系表达式；
3. （2）当点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 不与 $\text{[math]}$ 重合）上运动至何处时，线段 $\text{[math]}$ 的长有最大值？并求出这个最大值；
5. （3）在第四象限的抛物线上任取一点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．请问： $\text{[math]}$ 的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

能力提升真题演练换一批

1. (2023·龙江模拟) 某实验室对甲、乙两机器人进行装卸货物测试，在实验场地的一条直线上依次设置货物装卸点 $\text{[math]}$ 三地，甲、乙两机器人同时从 $\text{[math]}$ 地匀速出发，甲机器人到达 $\text{[math]}$ 地后装货1分钟，再以原速原路返回 $\text{[math]}$ 地，乙机器人到达 $\text{[math]}$ 地后装货1分钟，再以原速前往 $\text{[math]}$ 地，结果甲、乙两机器人同时到达各自目的地，在两机器人行驶的过程中，甲、乙两机器人距 $\text{[math]}$ 地的距离 $\text{[math]}$ （单位：米）与甲机器人所用时间 $\text{[math]}$ （单位：分）之间的函数图象如图所示，请结合图像信息解答下列问题：
1. （1） $\text{[math]}$ 两地之间的距离为米，甲机器人的速度为米/分；
2. （2）求乙机器人从 $\text{[math]}$ 地到 $\text{[math]}$ 地行驶过程中 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的函数关系式（不用写出 $\text{[math]}$ 的取值范围）；
3. （3）两机器人经过多长时间相距120米？请直接写出答案．
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2. (2022·赣州模拟) 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，与y轴交于点C．
1. （1）求抛物线 $\text{[math]}$ 的表达式及点C的坐标；
2. （2）若点 $\text{[math]}$ 是地物线 $\text{[math]}$ 上一动点，连接 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在抛物线 $\text{[math]}$ 上运动时；
  ①取 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 与点A重合时， $\text{[math]}$ 的坐标为 ▲ ；当点 $\text{[math]}$ 与点B重合时， $\text{[math]}$ 的坐标为 ▲ ；请在图2的网格中画出点 $\text{[math]}$ 的运动轨迹，并猜想点 $\text{[math]}$ 的运动轨迹是什么图形： ▲ ；并求点 $\text{[math]}$ 运动轨迹的函数 $\text{[math]}$ 的解析式；
  ②在线段 $\text{[math]}$ 上取中点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 运动轨迹的函数的解析式为 $\text{[math]}$ ，在线段 $\text{[math]}$ 上取中点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的运动轨迹的函数的解析式为 $\text{[math]}$ ， …，在线段 $\text{[math]}$ 上取中点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的运动轨迹的函数的解析式为 $\text{[math]}$ （n为正整数）；请求出函数 $\text{[math]}$ 的解析式（用含n的式子表示）．
  ③若直线y＝x＋m与系列函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ 的图象共只有4个交点，求m的取值范围．
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3. (2023·太和模拟) 如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 和线段 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 对称（点A，B分别与点C，D对应）．
1. （1）求C，D两点的坐标
2. （2）以直线 $\text{[math]}$ 为对称轴的抛物线 $\text{[math]}$ 经过A，B，C，D四点
  ①求代数式 $\text{[math]}$ 的值．
  ②若P是抛物线 $\text{[math]}$ 之间的一个动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，与直线 $\text{[math]}$ 分别相交于N，M两点，设点P的横坐标为m，记线段 $\text{[math]}$ 的长为W，求W关于m的函数解析式，并求W的最大值．
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1. (2021·仙桃) 去年“抗疫”期间，某生产消毒液厂家响应政府号召，将成本价为6元/件的简装消毒液低价销售.为此当地政府决定给予其销售的这种消毒液按a元/件进行补贴，设某月销售价为x元/件，a与x之间满足关系式： $\text{[math]}$ ，下表是某4个月的销售记录.每月销售量 $\text{[math]}$ （万件）与该月销售价x（元/件）之间成一次函数关系 $\text{[math]}$ .

月份	…	二月	三月	四月	五月	…
销售价x（元件）	…	6	7	7.6	8.5	…
该月销售量y（万件）	…	30	20	14	5	…

（1）求y与x的函数关系式；
（2）当销售价为8元/件时，政府该月应付给厂家补贴多少万元？
（3）当销售价x定为多少时，该月纯收入最大？（纯收入=销售总金额-成本+政府当月补贴）

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2. (2021·衢州) 如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图.水面宽AB与桥长CD均为24m，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系.
1. （1）求桥拱项部O离水面的距离.
2. （2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m.
  ①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式.
  
  ②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值.
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3. (2022·恩施) 某校计划租用甲、乙两种客车送180名师生去研学基地开展综合实践活动.已知租用一辆甲型客车和一辆乙型客车共需500元，租用2辆甲型客车和3辆乙型客车共需1300元.甲型客车每辆可坐15名师生，乙型客车每辆可坐25名师生.
1. （1）租用甲、乙两种客车每辆各多少元？
2. （2）若学校计划租用8辆客车，怎样租车可使总费用最少？
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1. (2019·衡阳) 如图，二次函数 的图象与 轴交于点 和点 ，与 轴交于点 ，以 为边在 轴上方作正方形 ，点 是 轴上一动点，连接 ，过点 作 的垂线与 轴交于点 ．

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