湘教版备考2021年中考数学三轮复习专题18 综合问题

更新时间：2021-06-04 浏览次数：231 类型：三轮冲刺

一、单选题

1. (2021九下·千山期中) 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，与对角线 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的中点，则下列结论中：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ，正确的有（）个

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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2. (2021·深圳模拟) 如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是（）

⑴EF＝ $\text{[math]}$ OE；

⑵S_{四边形OEBF}：S_{正方形ABCD}＝1：4；

⑶BE＋BF＝ $\text{[math]}$ OA；

⑷在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE＝ $\text{[math]}$ ；

⑸OG•BD＝AE²＋CF² ．

A . （1）（2）（3）（5） B . （1）（3）（4）（5） C . （2）（3）（4）（5） D . （1）（2）（3）（4）

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3. (2021·龙岗模拟) 已知正方形ABCD的边长为1，点P为正方形内一动点，若点M在AB上，且满足△PBC∽△PAM，延长BP交AD于点N，连接CM．分析下列结论：①AP⊥BN；②BM＝DN；③点P一定在以CM为直径的圆上；④当AN＝ $\text{[math]}$ 时，PC＝ $\text{[math]}$ ．其中结论正确的个数是（）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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4. (2021·南海模拟) 如图，已知二次函数 $\text{[math]}$ 的图象交 $\text{[math]}$ 轴于 $\text{[math]}$ 两点，交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，对称轴为直线 $\text{[math]}$ ．直线 $\text{[math]}$ 与二次函数的图象交于 $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 点在 $\text{[math]}$ 轴的下方，而且 $\text{[math]}$ 的横坐标小于4，下列结论：
① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④不等式 $\text{[math]}$ 的取值范围是 $\text{[math]}$ ．其中正确的结论有（）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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5. (2021·蜀山模拟) 如图是抛物线 $\text{[math]}$ 的部分图象，其对称轴为直线 $\text{[math]}$ 且与x轴的一个交点坐标是 $\text{[math]}$ ，则下列结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ （m为任意实数）．其中正确结论的个数是（）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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6. (2021九下·渝中期中) 如图，在矩形ABCD中，AD＝10，在BC边上取一点E ，连接AE、DE ，使得DE＝AD ， H为AE中点，连接DH ，在DE上取一点F ，连接AF ，将△AEF沿着AF翻折得到△AGF ，且GF⊥AD于M ，连接GD ，若AE＝4 $\text{[math]}$ ，则点F到直线DG的距离为（）

A . 2 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2021·辉模拟) 如图，平面直角坐标系中，点A₁的坐标为（1，2），以O为圆心，OA₁的长为半径画弧，交直线y＝ $\text{[math]}$ x于点B₁；过点B₁作B₁A₂∥y轴交直线y＝2x于点A₂ ，以O为圆心，OA₂长为半径画弧，交直线y＝ $\text{[math]}$ x于点B₂；过点B₂作B₂A₃∥y轴交直线y＝2x于点A₃ ，以点O为圆心，OA₃长为半径画弧，交直线y＝ $\text{[math]}$ x于点B₃；…按如此规律进行下去，点B₂₀₂₁的坐标为（）

A . （2²⁰²¹ ， 2²⁰²¹） B . （2²⁰²¹ ， 2²⁰²⁰） C . （2²⁰²⁰ ， 2²⁰²¹） D . （2²⁰²² ， 2²⁰²¹）

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8. (2020九上·长沙月考) 如图，点A、M是第一象限内双曲线 $\text{[math]}$ （k为常数， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）上的点（点M在点A的左侧），若M点的纵坐标为1，且△OAM为等边三角形，则k的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. (2020九上·永州月考) 如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…是分别以A₁ ， A₂ ， A₃ ， …为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C₁（x₁ ， y₁），C₂（x₂ ， y₂），C₃（x₃ ， y₃），…均在反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象上，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2020九上·永定期中) 如图，是抛物线y₁＝ax²+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y₂＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A ， B两点，下列结论：①2a+b＝0；m+n＝3；②抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；③方程ax²+bx+c＝3有两个相等的实数根；④当1 $\text{[math]}$ x $\text{[math]}$ 4时，有y₂ $\text{[math]}$ y₁；⑤若ax₁²+bx₁＝ax₂²+bx₂ ，且x₁≠x₂ ，则x₁+x₂＝1．正确的为（）

A . ①④⑤ B . ①③④ C . ①③⑤ D . ①②③

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11. (2020九下·长沙开学考) 如图，矩形 $\text{[math]}$ 的四个顶点分别在矩形 $\text{[math]}$ 的各条边上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．有以下四个结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④矩形 $\text{[math]}$ 的面积是 $\text{[math]}$ ．其中正确的结论为（）

A . ①② B . ①②③ C . ①②④ D . ①②③④

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12. (2020·长沙模拟) 二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：①2a+b＝0；②9a+c＞3b；③若点A（﹣3，y₁）、点B（﹣ $\text{[math]}$ ，y₂）、点C（ $\text{[math]}$ ，y₃）在该函数图象上，则y₁＜y₃＜y₂：④若方程ax²+bx+c＝﹣3（a≠0）的两根为x₁和x₂ ，且x₁＜x₂ ，则x₁＜﹣1＜3＜x₂；⑤m（am+b）﹣b＜a ．其中正确的结论有（）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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13. (2020九上·天心期末) 如图，平行于x轴的直线与函数y＝ $\text{[math]}$ （k₁＞0，x＞0），y＝ $\text{[math]}$ （k₂＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为6，则k₁﹣k₂的值为（　　）

A . 12 B . ﹣12 C . 6 D . ﹣6

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14. (2020九上·天心期末) 如图，在矩形ABCD中，AB＝12，P是AB上一点，将△PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是G ，过点B作BE⊥CG ，垂足为E ，且在AD上，BE交PC于点F ，则下列结论，其中正确的结论有（　　）
①BP＝BF；②若点E是AD的中点，那么△AEB≌△DEC；③当AD＝25，且AE＜DE时，则DE＝16；④在③的条件下，可得sin∠PCB＝ $\text{[math]}$ ；⑤当BP＝9时，BE•EF＝108．

A . 2个 B . 3个 C . 4个 D . 5个

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15. (2020九上·石鼓期末) 如图，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上的一点，且BF＝3CF，连接AE、AF、EF，下列结论：①∠DAE＝30°，②△ADE∽△ECF，③AE⊥EF，④AE²＝AD•AF，其中正确结论的个数是（　　）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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二、填空题

16. (2020九上·永州月考) 如图，某数学兴趣小组在学完矩形的知识后一起探讨了一个纸片折叠问题：如何将一张平行四边形纸片 $\text{[math]}$ 的四个角向内折起，拼成一个无缝隙、无重叠的矩形 $\text{[math]}$ ．图中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 表示折痕，折后 $\text{[math]}$ 的对应点分别是 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则纸片折叠时 $\text{[math]}$ 的长应取．

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17. (2020九上·长沙期中) 如图，O是正△ABC内一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段 $\text{[math]}$ ，下列结论正确的有．(请填序号)
①点O与 $\text{[math]}$ 的距离为4；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ．

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18. (2020九上·永定期中) 已知三角形三边分别为3、4、5，则该三角形内心与外心之间的距离为．

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19. (2019九上·澧县月考) 反比例函数y＝ $\text{[math]}$ 的图象如图所示，A，P为该图象上的点，且关于原点成中心对称．在△PAB中，PB∥y轴，AB∥x轴，PB与AB相交于点B．若△PAB的面积大于12，则关于x的方程(a－1)x²－x＋ $\text{[math]}$ ＝0的根的情况是．

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20. (2019·永州) 如图，直线y＝4﹣x与双曲线y $\text{[math]}$ 交于A ， B两点，过B作直线BC⊥y轴，垂足为C ，则以OA为直径的圆与直线BC的交点坐标是．

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21. (2019九下·新田期中) 已知： $\text{[math]}$ ……则 $\text{[math]}$ 的末尾数字是.

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22. (2019·株洲模拟) 如图，将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，EH=8cm，EF=15cm，则边AD的长是cm．

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23. (2019·株洲模拟) 直线y=k₁x+b₁（k₁＞0）与y=k₂x+b₂（k₂＜0）相交于点（-3，0），且两直线与y轴围成的三角形面积为15，那么b₁-b₂等于．

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24. (2019·岳阳模拟) 已知如图，四边形ABCD为矩形，点O是AC的中点，过点O的一直线分别与AB、CD交于点E、F ，连接BF交AC于点M ，连接DE、BO ，若∠COB＝60°，FO＝FC ，则下列结论：①FB⊥OC ， OM＝CM；②△EOB≌△CMB；③四边形EBFD是菱形；④MB：OE＝3：2，其中符合题意结论是．

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三、综合题

25. (2021·娄底模拟) 如图，AB是 $\text{[math]}$ 的直径，点D、E在 $\text{[math]}$ 上，连接AE、ED、DA，连接BD并延长至点C，使得 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证：AC是 $\text{[math]}$ 的切线；
2. （2）若点E是的 $\text{[math]}$ 中点，AE与BC交于点F，
  ①求证：CA=CF；
  
  ②若 $\text{[math]}$ 的半径为3，BF=2，求AC的长.
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26. (2021九上·长沙期末) 如图， $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为直径，过点O作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点F，交 $\text{[math]}$ 于点D，E为 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证：E是 $\text{[math]}$ 的中点；
2. （2）求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线；
3. （3）如果 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求弦 $\text{[math]}$ 的长.
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27. (2021九上·长沙期末) 如图1，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，函数 $\text{[math]}$ （m为常数， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）的图象经过点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与x轴、y轴分别交于C，D两点.
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的度数；
2. （2）如图2，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求此时m的值；
3. （3）如图3，点A、点B分别是在x轴和y轴正半轴上的动点.再以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为邻边作矩形 $\text{[math]}$ .若点M恰好在函数 $\text{[math]}$ （m为常数， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）的图象上，且四边形 $\text{[math]}$ 为平行四边形，求此时 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的长度.
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28. (2021九上·长沙期末) 对于一个函数给出如下定义；对于函数y，若当 $\text{[math]}$ ，函数值y满足 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ，则称此函数为“k属合函数”.例如：正比例函数 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，求得： $\text{[math]}$ ，所以函数 $\text{[math]}$ 为“2属合函数”.
1. （1）一次函数 $\text{[math]}$ 为“1属合函数”，求a的值.
2. （2）反比例函数 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ）是“k属合函数”，且 $\text{[math]}$ ，请求出 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）已知二次函数 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，y是“k属合函数”，求k的取值范围.
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29. (2021九上·开福期末) 定义：若抛物线L：y＝ax²+bx+c的图象恒过定点M（x₀ ， y₀），则称M（x₀ ， y₀）为抛物线L的“不动点”.已知：若抛物线L：y＝ax²﹣2ax+x+1（a＜0）；
1. （1）求抛物线L的不动点坐标；
2. （2）已知平面直角坐标系中A（﹣1，0），B（1，0），C（3，0），以点B为圆心，OB为半径作⊙B，点P为⊙B上一点，将点C绕点P逆时针旋转90°得到点C'，当点P为⊙B上运动时，求线段AC'长度的最大值；
3. （3）在（2）的条件下，若抛物线L的对称轴是直线x＝2；
  ①求抛物线L的解析式；
  
  ②若直线PC交抛物线L于点E（x₁ ， y₁）、F（x₂ ， y₂），交y轴于点Q，平面内一点H坐标为H（4 $\text{[math]}$ ，2），记d＝|x₁﹣x₂|，当点P在⊙B上运动时，求（ $\text{[math]}$ ）²的取值范围.
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30. (2021九上·开福期末) 如图1，在△ABC中，∠B＝∠ACB＝45°，AB＝6 $\text{[math]}$ ，点D是BC上一点，作DE⊥AD交射线AC于E，DF平分∠ADE交AC于F.
1. （1）求证：AB•CF＝BD•CD；
2. （2）如图2，当∠AED＝75°时，求CF的长；
3. （3）若CD＝3BD，求 $\text{[math]}$ .
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31. (2021九上·开福期末) 规定：我们把一个函数关于某条直线或者某点作对称后形成的新函数，称之为原函数的“对称函数”.
1. （1）已知一次函数y＝﹣2x+3的图象，求关于直线y＝﹣x的对称函数的解析式；
2. （2）已知二次函数y＝ax²+4ax+4a﹣1的图象为C₁；
  ①求C₁关于点R（1，0）的对称函数图象C₂的函数解析式；
  
  ②若两抛物线与y轴分别交于A、B两点，当AB＝16时，求a的值；
3. （3）若直线y＝﹣2x﹣3关于原点的对称函数的图象上的存在点P，不论m取何值，抛物线y＝mx²+（m﹣ $\text{[math]}$ ）x﹣（2m﹣ $\text{[math]}$ ）都不通过点P，求符合条件的点P坐标.
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32. (2021九上·南县期末)
1. （1）（基础巩固）
  如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ .求证： $\text{[math]}$ .
2. （2）（尝试应用）
  如图2，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 延长线上一点， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.
3. （3）（拓展提高）
  如图3，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 内一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求菱形 $\text{[math]}$ 的边长.
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33. (2021九上·涟源期末) 如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A（一1，0），B（3，0）两点，过点A的直线l交抛物线于点C（2，m）.
1. （1）求抛物线的解析式.
2. （2）点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段PE最大时点P的坐标.
3. （3）点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点D，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由.
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34. (2020九上·长沙月考) 定义：有且仅有一组对角相等的凸四边形叫做“准平行四边形”．例如：凸四边形 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则称四边形 $\text{[math]}$ 为准平行四边形．
1. （1）如（图①）， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是⊙O上的四个点， $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ．求证：四边形 $\text{[math]}$ 是准平行四边形；
2. （2）如（图②），准平行四边形 $\text{[math]}$ 内接于⊙O， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若⊙O的半径为5， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；
3. （3）如（图③），在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若四边形 $\text{[math]}$ 是准平行四边形，且 $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 长的最大值．
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35. (2020九上·长沙月考) 在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）与 $\text{[math]}$ 轴的两个交点分别为A、B，与 $\text{[math]}$ 轴相交于点C，点A（ $\text{[math]}$ ，0）， $\text{[math]}$ ，连接BC，tan∠OCB=2．
1. （1）求该抛物线的解析式；
2. （2）设点P是抛物线上在第一象限内的动点（不与C、B重合），过点P做PD⊥BC，垂足为点D．
  ①点P在运动过程中，线段PD的长度是否存在最大值？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
  
  ②以P、D、C为顶点的三角形与△COA相似时，求出点P的坐标．
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36. (2020九上·长沙月考) 对于抛物线 $\text{[math]}$ ，我们将它的顶点以及它与 $\text{[math]}$ 轴的两个交点构成的三角形称为该抛物线的“内接三角形”．
1. （1）下列抛物线，有“内接三角形”的是；（填序号）
  ① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$
2. （2）如图1，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的交点分别为点A、点B（点A在点B左边），顶点为点D，该抛物线的“内接三角形”△ABD为等边三角形．
  ①求 $\text{[math]}$ 的值；
  
  ②如图2，若该抛物线经过点（0，6），∠BAD的平分线交BD于点P，点M为射线AB上一点．连接直线PM交射线AD于点N，求 $\text{[math]}$ 的值．
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37. (2020九上·永州月考) 如图，一次函数 $\text{[math]}$ 的图象与反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象交于第一象限C（1，4）、D（4，m）两点，与坐标轴交于A、B两点，连接OC、OD（O是坐标原点）．
1. （1）求△DOC的面积；
2. （2）将直线AB向下平移多少个单位长，直线与反比例函数图象只有1个交点？
3. （3）双曲线上是否存在一点P，使△POC与△POD的面积相等？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
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38. (2020九上·永州月考) 阅读材料：各类方程的解法：
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式，求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．

用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x³+x²-2x=0，可以通过因式分解把它转化为 $\text{[math]}$ ，解方程x=0和x²+x-2=0，可得方程x³+x²-2x=0的解．
1. （1）问题：方程 $\text{[math]}$ 的解是： $\text{[math]}$ =0， $\text{[math]}$ =， $\text{[math]}$ =；
2. （2）拓展：用“转化”思想求方程 $\text{[math]}$ 的解；
3. （3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=21m，宽AB=8m，点P在AD上（AP＞PD），小华把一根长为27m的绳子一段固定在点B，把长绳PB段拉直并固定在点P，再拉直，长绳的另一端恰好落在点C，求AP的长．
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39. (2020九上·永定期中) 已知正方形ABCD中AC与BD交于点O ，点M在线段BD上，作直线AM交直线DC于点E ，过D作DH⊥AE于H ，设直线DH交AC于点N ．
1. （1）如图1，当M在线段BO上时，求证：OM＝ON；
2. （2）如图2，当M在线段OD上，连接NE和MN ，当EN $\text{[math]}$ BD时，求证：四边形DENM是菱形；
3. （3）在（2）的条件下，若正方形边长为4，求EC的长．
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