如图，已知二次函数y=ax2+ x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．

1. (2016九下·澧县开学考) 如图，已知二次函数y=ax²+ $\text{[math]}$ x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．
1. （1）请直接写出二次函数y=ax²+ $\text{[math]}$ x+c的表达式；
3. （2）判断△ABC的形状，并说明理由；
5. （3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N的坐标；
7. （4）若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．

能力提升真题演练换一批

1. (2023九下·广水月考) 阅读下面材料.
小炎遇到这个一个问题：如图1，点E、F分别在正方形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，试说明理由.
小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中，她先尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段 $\text{[math]}$ 是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法.她的方法是将 $\text{[math]}$ 绕着点A逆时针旋转90°得到 $\text{[math]}$ ，再利用全等的知识解决这个问题（如图2）.
参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题：
1. （1）写出小炎的推理过程；
2. （2）如图3，四边形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E、F分别在边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 都不是直角，则当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 满足于关系时，仍有 $\text{[math]}$ ；
3. （3）如图4，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D、E均在边BC上，且 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求DE的长.
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2. (2022九下·杭州月考) 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC延长线上一点，且DE⊥BC交AB于点F.
1. （1）求证：△ADF是等腰三角形；
2. （2）连接CF，若∠D＝30°，∠CFE＝60°，DF＝8，求CE的长.
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3. (2023九下·武汉月考) 如图（1），E，F，H是正方形 $\text{[math]}$ 边上的点，连接 $\text{[math]}$ 交于点G、连接 $\text{[math]}$ .
1. （1）判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的位置关系，并证明你的结论；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；
3. （3）如图（2），E，F是菱形 $\text{[math]}$ 边 $\text{[math]}$ 上的点，连接 $\text{[math]}$ ，点G在 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 的长及 $\text{[math]}$ 的值.
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1. (2021·锦州) 某公司计划购进一批原料加工销售，已知该原料的进价为6.2万元/t ，加工过程中原料的质量有20%的损耗，加工费m（万元）与原料的质量x（t）之间的关系为m＝50＋0.2x ，销售价y（万元/t）与原料的质量x（t）之间的关系如图所示．
1. （1）求y与x之间的函数关系式；
2. （2）设销售收入为P（万元），求P与x之间的函数关系式；
3. （3）原料的质量x为多少吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是多少万元？（销售利润＝销售收入﹣总支出）．
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2. (2022·眉山) 如图， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的直径，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相切于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的角平分线；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；
3. （3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积.
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3. (2022·黔西) 如图，在平面直角坐标系中，经过点 $\text{[math]}$ 的直线AB与y轴交于点 $\text{[math]}$ ．经过原点O的抛物线 $\text{[math]}$ 交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．
1. （1）求抛物线 $\text{[math]}$ 的表达式；
2. （2） M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当 $\text{[math]}$ 轴且 $\text{[math]}$ 时，求点M的坐标；
3. （3） P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
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