如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与座板CD都平行于地面，靠背DM与支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，量得∠EOF=90°，∠ODC=30°，ON=40cm，EG=30cm．

1. (2016九下·澧县开学考) 如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与座板CD都平行于地面，靠背DM与支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，量得∠EOF=90°，∠ODC=30°，ON=40cm，EG=30cm．
1. （1）求两支架落点E、F之间的距离；
3. （2）若MN=60cm，求躺椅的高度（点M到地面的距离，结果取整数）．
  （参考数据：sin60°= $\text{[math]}$ ，cos60°= $\text{[math]}$ ，tan60°= $\text{[math]}$ ≈1.73，可使用科学计算器）

能力提升真题演练换一批

1. (2022九下·儋州月考) 如图，在菱形ABCD中，AB=3，∠B=60°，AC为对角线，点E、F分别在边AB、BC上（不与端点重合），且AE=BF，连接CE、AF交于点G.
1. （1）求证：△ABF≌△CAE；
2. （2）求∠FGC的度数；
3. （3）连接EF，DG，若EF⊥BC，求线段DG的长.
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2. (2022九下·江津期中) 如图1，已知抛物线y= $\text{[math]}$ 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作DH⊥x轴于点H，过点A作AE⊥AC交DH的延长线于点E．
1. （1）求线段DE的长度；
2. （2）如图2，试在线段AE上找一点F，在线段上找一点P，且点为直线PF上方抛物线上的-点，求当△CPF的周长最小时，△MPF面积的最大值是多少；
3. （3）在（2）问的条件下，将得到的△CFP沿直线AE平移得到，将△C'F'P'沿C'P'翻折得到△C'P'F"，记在平移过称中，直线F'P'与x轴交于点K，当NF'F"K为等腰三角形，直接写出OK的值．
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3. (2022九下·重庆开学考) 如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 延长线上一点，连接 $\text{[math]}$ ．

图3
1. （1）如图1，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）如图2，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ．作 $\text{[math]}$ 的平分线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ；
3. （3）如图3，在（2）的条件下，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 为平面内一动点，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为边长作等边 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 的最小值．
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1. (2022·苏州) 如图，在二次函数 $\text{[math]}$ （m是常数，且 $\text{[math]}$ ）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D.其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F.连接AC，BD.
1. （1）求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求 $\text{[math]}$ 的度数；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求m的值；
3. （3）若在第四象限内二次函数 $\text{[math]}$ （m是常数，且 $\text{[math]}$ ）的图象上，始终存在一点P，使得 $\text{[math]}$ ，请结合函数的图象，直接写出m的取值范围.
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2. (2021·包头) 如图，已知 $\text{[math]}$ 是等边三角形，P是 $\text{[math]}$ 内部的一点，连接BP ， CP ．
1. （1）如图1，以BC为直径的半圆O交AB于点Q ，交AC于点R ，当点P在 $\text{[math]}$ 上时，连接AP ，在BC边的下方作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接DP ，求 $\text{[math]}$ 的度数；
2. （2）如图2，E是BC边上一点，且 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，连接EP并延长，交AC于点F ．若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；
3. （3）如图3，M是AC边上一点，当 $\text{[math]}$ 时，连接MP ．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值（用含a的代数式表示）．
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3. (2021·南县) 如图，在等腰锐角三角形ABC中，AB＝AC，过点B作BD⊥AC于D，延长BD交△ABC的外接圆于点E，过点A作AF⊥CE于F，AE，BC的延长线交于点G.
1. （1）判断EA是否平分∠DEF，并说明理由；
2. （2）求证：①BD＝CF；
  ②BD²＝DE²+AE•EG.
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