如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D的切线分别交AB，AC的延长线于E，F，连接BD．

1. (2017·贺州) 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D的切线分别交AB，AC的延长线于E，F，连接BD．
1. （1）求证：AF⊥EF；
3. （2）若AC=6，CF=2，求⊙O的半径．

能力提升真题演练换一批

1. (2023·梅州模拟) 在平面直角坐标系中，有一矩形 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，已知点B的坐标为 $\text{[math]}$ ．
ⅰ：如题图1所示，反比例函数 $\text{[math]}$ ，点P为反比例函数上一动点，设 $\text{[math]}$ ．
1. （1）连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 与t的函数关系式；
2. （2）若点P满足 $\text{[math]}$ ，求满足该条件的P点个数；
  ⅱ：如题图2所示，以点B为圆心，作一个与AC相切的 $\text{[math]}$ ，过点O作 $\text{[math]}$ 的切线，切点T位于 $\text{[math]}$ 左上方；
3. （3）试问直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 是否垂直，若垂直，请给出证明：若不垂直，请说明理由．
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2. (2021·泉州模拟) 定义：在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ 为坐标原点，点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 为某个等腰三角形的腰，且该等腰三角形的底边与 $\text{[math]}$ 轴垂直，则称该等腰三角形为点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的“伴随等腰三角形”.
1. （1）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为抛物线 $\text{[math]}$ 上的点，它的“伴随等腰三角形”记为 $\text{[math]}$ ，且底边 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均在点 $\text{[math]}$ 的右侧，设点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ .
  ①若点 $\text{[math]}$ 在这条抛物线上，则 $\text{[math]}$ 的面积是▲ .
  
  ②设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点的纵坐标分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，比较 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小；
  
  ③当 $\text{[math]}$ 底边上的高等于底边长的2倍时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是抛物线 $\text{[math]}$ 上的两点，它的“伴随等腰三角形 $\text{[math]}$ ”以 $\text{[math]}$ 为底，且点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均在点 $\text{[math]}$ 的同侧（左侧或右侧），点 $\text{[math]}$ 的横坐标是点 $\text{[math]}$ 的横坐标的2倍，过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别作垂直于 $\text{[math]}$ 轴的直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .设点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ，该抛物线在直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的部分（包括端点）的最高点的纵坐标为 $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的函数关系式，并写出自变量 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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3. (2023·长沙) $\text{[math]}$ 年 $\text{[math]}$ 月 $\text{[math]}$ 日 $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面 $\text{[math]}$ 处发射，当飞船到达 $\text{[math]}$ 点时，从位于地面 $\text{[math]}$ 处的雷达站测得 $\text{[math]}$ 的距离是 $\text{[math]}$ ，仰角为 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ 后飞船到达 $\text{[math]}$ 处，此时测得仰角为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求点 $\text{[math]}$ 离地面的高度 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求飞船从 $\text{[math]}$ 处到 $\text{[math]}$ 处的平均速度．(结果精确到 $\text{[math]}$ ，参考数据： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ )
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1. (2022·泰安) 正方形 $\text{[math]}$ 中，P为 $\text{[math]}$ 边上任一点， $\text{[math]}$ 于E，点F在 $\text{[math]}$ 的延长线上，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的平分线交 $\text{[math]}$ 于G，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 是等腰直角三角形；
2. （2）求证： $\text{[math]}$ ；
3. （3）若 $\text{[math]}$ ， P为 $\text{[math]}$ 的中点，求 $\text{[math]}$ 的长．
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2. (2022·十堰) 已知 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 内部作等腰 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .点 $\text{[math]}$ 为射线 $\text{[math]}$ 上任意一点（与点 $\text{[math]}$ 不重合），连接 $\text{[math]}$ ，将线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到线段 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 并延长交射线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .
1. （1）如图1，当 $\text{[math]}$ 时，线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系是；
2. （2）如图2，当 $\text{[math]}$ 时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
3. （3）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 的长（用含有 $\text{[math]}$ 的式子表示）.
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3. (2022·德阳) 如图，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的垂线，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ .点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发沿 $\text{[math]}$ 方向以 $\text{[math]}$ 向点 $\text{[math]}$ 匀速运动，同时，点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发沿 $\text{[math]}$ 方向以 $\text{[math]}$ 向点 $\text{[math]}$ 匀速运动.设点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的运动时间为 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ），且 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证：四边形 $\text{[math]}$ 是矩形.
2. （2）连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在运动过程中， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是否能够全等？若能，求出此时 $\text{[math]}$ 的值；若不能，请说明理由.
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