如图，已知二次函数y=ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点A（3，0），B（4，1），且与y轴交于点C，连接AB、AC、BC．

1. (2017·连云港)
如图，已知二次函数y=ax²+bx+3（a≠0）的图象经过点A（3，0），B（4，1），且与y轴交于点C，连接AB、AC、BC．
1. （1）求此二次函数的关系式；
3. （2）判断△ABC的形状；若△ABC的外接圆记为⊙M，请直接写出圆心M的坐标；
5. （3）若将抛物线沿射线BA方向平移，平移后点A、B、C的对应点分别记为点A₁、B₁、C₁ ， △A₁B₁C₁的外接圆记为⊙M₁ ，是否存在某个位置，使⊙M₁经过原点？若存在，求出此时抛物线的关系式；若不存在，请说明理由．

能力提升真题演练换一批

1. (2023·金山模拟) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，顶点为点P，与y轴交于点C．
1. （1）求该抛物线的表达式以及顶点P的坐标；
2. （2）将抛物线向上平移 $\text{[math]}$ 个单位后，点A的对应点为点M，若此时 $\text{[math]}$ ，求m的值；
3. （3）设点D在抛物线 $\text{[math]}$ 上，且点D在直线 $\text{[math]}$ 上方，当 $\text{[math]}$ 时，求点D的坐标．
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2. (2023·斗门模拟) 一个几何体的三视图如图所示，
1. （1）请问该几何体名称为；
2. （2）根据图示的数据计算出该几何体的表面积．
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3. (2023·覃塘模拟) 如图，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，矩形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的负半轴上，抛物线 $\text{[math]}$ 经过A，C两点，连接 $\text{[math]}$ .
1. （1）请直接写出b，c的值；
2. （2）若动点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ （不与O，A两点重合）上，过点E作x轴的垂线l交 $\text{[math]}$ 于点F，交 $\text{[math]}$ 于点M，交抛物线于点P，连接 $\text{[math]}$ .
  ①设线段 $\text{[math]}$ 的长为h，求h与m的函数关系式；
  ②当点P在 $\text{[math]}$ 下方的抛物线上时，以P，C，F为顶点的三角形与 $\text{[math]}$ 是否相似？若相似，请求出此时点E的坐标；若不相似，请说明理由.
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1. (2022·西藏) 如图，已知BC为⊙O的直径，点D为 $\text{[math]}$ 的中点，过点D作DG∥CE，交BC的延长线于点A，连接BD，交CE于点F．
1. （1）求证：AD是⊙O的切线；
2. （2）若EF＝3，CF＝5，tan∠GDB＝2，求AC的长．
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2. (2021·玉林) 如图， $\text{[math]}$ 与等边 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别交于点D，E， $\text{[math]}$ 是直径，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点F.
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线；
2. （2）连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线时，求 $\text{[math]}$ 的半径r与等边 $\text{[math]}$ 的边长a之间的数量关系.
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3. (2022·百色) 已知：点 A（1，3）是反比例函数 $\text{[math]}$ （k≠0）的图象与直线 $\text{[math]}$ （ m≠0）的一个交点.
1. （1）求k 、m的值：
2. （2）在第一象限内，当 $\text{[math]}$ 时，请直接写出x的取值范围
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