问题情境：如图1，已知， .求的度数.

1. (2020八上·湛江开学考) 问题情境：如图1，已知， .求的度数.
1. （1）经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作，根据平行线有关性质，可得 .
3. （2）问题迁移：如图3，，点P在射线OM上运动，， .
  ①当点P在A，B两点之间运动时，、、之间有何数量关系？请说明理由.
  
  ②如果点P在A，B两点外侧运动时（点P与点A，B，O三点不重合），请你直接写出、、之间的数量关系，
5. （3）问题拓展：如图4，，是一条折线段，依据此图所含信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为.

能力提升真题演练换一批

1. (2023八上·奉化期中) 如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，如图 $\text{[math]}$ ，等腰 $\text{[math]}$ 与等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，我们把它们构成的这个图形叫做“手拉手模型”．
1. （1）【模型探究】
  如图 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 存在怎样的数量关系？请证明你的结论．
2. （2）【应用模型】
  如图 $\text{[math]}$ ，等腰直角三角形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边的中点，直线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上的动点，将线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到线段 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ．
  $\text{[math]}$ 如图 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 边上时，求 $\text{[math]}$ ．
  $\text{[math]}$ 直接写出在点 $\text{[math]}$ 运动过程中，点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 之间的最短距离．
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2. (2024八上·东阳月考) 我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点．
1. （1）特例感知
  ①等腰直角三角形 ▲ 勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）；
  ②如图1，已知 $\text{[math]}$ 为勾股高三角形，其中C为勾股顶点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上的高．若 $\text{[math]}$ ，试求线段 $\text{[math]}$ 的长度．
2. （2）深入探究
  如图2，已知 $\text{[math]}$ 为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上的高，试探究线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并给予证明；
3. （3）推广应用
  如图3，等腰 $\text{[math]}$ 为勾股高三角形，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上的高，过点D向 $\text{[math]}$ 边引平行线与 $\text{[math]}$ 边交于点E ．若 $\text{[math]}$ ，试求线段 $\text{[math]}$ 的长度．
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3. (2023八上·兴县月考) 综合与探究
1. （1）【基础巩固】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°．AD平分∠BAC ， BC的垂直平分线交AB于点E ，交BC于点F ，连接CE ，试判断△ACE的形状，并说明理由．
2. （2）【深入探究】如图1，在（1）的条件下，连接DE ，试猜想DE和AB的位置关系，并证明你的结论．
3. （3）【拓展提高】如图2，在（2）的条件下，N是BC上一点，连接AN，作∠ANG＝60°，交DE的延长线于点G，延长AD到点H，使得 DH＝DN，连接NH，试探究AH和DG之间的数量关系，并证明你的判断正确．
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1. (2022·烟台)
1. （1）【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
2. （2）【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出 $\text{[math]}$ 的值．
3. （3）【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且 $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ．连接BD，CE．
  ①求 $\text{[math]}$ 的值；
  ②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．
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2. (2022·吉林) 下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．
【作业】如图①，直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的面积相等吗？为什么？
解：相等．理由如下：
设 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的距离为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ．
【探究】
1. （1）如图②，当点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间时，设点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．
  证明：∵ $\text{[math]}$       ▲
        ▲
        ▲
2. （2）如图③，当点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间时，连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．
  证明：过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，
  ∴ $\text{[math]}$       ▲ ．
  ∴ $\text{[math]}$       ▲ ．
  ∴ $\text{[math]}$ ．
  由【探究】（1）可知 $\text{[math]}$       ▲ ，
  ∴ $\text{[math]}$ ．
3. （3）如图④，当点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 下方时，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．若点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所对应的刻度值分别为5，1.5，0， $\text{[math]}$ 的值为．
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3. (2022·兰州) 综合与实践，【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点， $\text{[math]}$ ，EP与正方形的外角 $\text{[math]}$ 的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明；
1. （1）【思考尝试】同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．
2. （2）【实践探究】希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合）， $\text{[math]}$ 是等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ，连接CP，可以求出 $\text{[math]}$ 的大小，请你思考并解答这个问题．
3. （3）【拓展迁移】突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合）， $\text{[math]}$ 是等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ，连接DP．知道正方形的边长时，可以求出 $\text{[math]}$ 周长的最小值．当 $\text{[math]}$ 时，请你求出 $\text{[math]}$ 周长的最小值．
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