如图，是等边三角形，，动点P从点A出发，以的速度沿向点B匀速运动，过点P作，交折线于点Q，以为边作等边三角形，使点A，D在异侧．设点P的运动时间为，与重叠部分图形的面积为．

1. (2020·吉林) 如图， $\text{[math]}$ 是等边三角形， $\text{[math]}$ ，动点P从点A出发，以 $\text{[math]}$ 的速度沿 $\text{[math]}$ 向点B匀速运动，过点P作 $\text{[math]}$ ，交折线 $\text{[math]}$ 于点Q，以 $\text{[math]}$ 为边作等边三角形 $\text{[math]}$ ，使点A，D在 $\text{[math]}$ 异侧．设点P的运动时间为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重叠部分图形的面积为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
1. （1） $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ （用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示）．
3. （2）当点D落在边 $\text{[math]}$ 上时，求x的值．
5. （3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．

能力提升真题演练换一批

1. (2022·内江模拟) 如图1，在直角坐标系中，O是坐标原点，点A在y轴正半轴上，二次函数y=ax²+ $\text{[math]}$ x+c的图象F交x轴于B、C两点，交y轴于M点，其中B（﹣3，0），M（0，﹣1）．已知AM=BC．
1. （1）求二次函数的解析式；
2. （2）证明：在抛物线F上存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形，并请求出直线BD的解析式；
3. （3）在（2）的条件下，设直线l过D且l⊥BD，分别交直线BA、BC于不同的P、Q两点，AC、BD相交于N，求 $\text{[math]}$ 的值；
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2. (2022·宝鸡模拟) 如图，AB为⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC，垂足为点E，
1. （1）求证：DE为⊙O的切线；
2. （2）若⊙O的直径AB＝5，tanC＝ $\text{[math]}$ ，求DE得长度．
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3. (2023·房县模拟) 如图1， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均为等边三角形，连接BD，CE.
1. （1）直接写出BD与CE的数量关系为，直线BD与CE所夹锐角为度；
2. （2）将 $\text{[math]}$ 绕点A逆时针旋转至如图2，取BC，DE的中点M，N，连接MN，试问： $\text{[math]}$ 的值是否随图形的旋转而变化？若不变，请求出该值；若变化，请说明理由；
3. （3）若 $\text{[math]}$ ，当图形旋转至B，D，E三点在一条直线上时，请画出图形，并直接写出MN的值为 .
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1. (2021·丹东) 如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的外接圆，点D是 $\text{[math]}$ 的中点，过点D作 $\text{[math]}$ 分别交 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的延长线于点E和点F ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的平分线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点M ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长．
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2. (2021·安徽) 为了解全市居民用户用电情况，某部门从居民用户中随机抽取100户进行月用电量(单位：kM·h)调查，按月用电量50～100，100～150，100～200，200～250，250～300，300～350进行分组，绘制频数分布直方图如下：

（3）设各组居民月平均用电量如下表：

组别	50～100	100～150	150～200	200～250	250～300	300～350
月平均用电量（单位：kM·h）	75	125	175	225	275	325

根据上述信息，估计该市居民用户月用电量的平均数.

3. (2021·宿迁) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于A(-1，0)，B(4，0)，与y轴交于点C.连接AC，BC，点P在抛物线上运动.
1. （1）求抛物线的表达式；
2. （2）如图①，若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当∠CAQ=∠CBA $\text{[math]}$ 45°时，求点P的坐标；
3. （3）如图②，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P作x轴的垂线交BC于点H，当△PFH为等腰三角形时，求线段PH的长.
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1. (2020·吉林) 如图， 是等边三角形， ，动点P从点A出发，以 的速度沿 向点B匀速运动，过点P作 ，交折线 于点Q，以 为边作等边三角形 ，使点A，D在 异侧．设点P的运动时间为 ， 与 重叠部分图形的面积为 ．