如图，抛物线经过x轴上的点A（1，0）和点B及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为． ①求抛物线的解析式． ②点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向

1. (2019·巴中) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 经过x轴上的点A（1，0）和点B及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为 $\text{[math]}$ ．

①求抛物线的解析式．

②点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，求t为何值时，△PBE的面积最大并求出最大值．

③过点A作 $\text{[math]}$ 于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标．

基础巩固能力提升变式训练拓展培优真题演练换一批

1. (2022·泗洪模拟) 把二次函数y＝x²+bx+c的图象向下平移1个单位长度，再向左平移5个单位长度，所得的抛物线顶点坐标为（﹣3，2），求原抛物线相应的函数表达式.

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2. (2021·青田模拟) 如图，已知一次函数y₁＝kx＋b与反比例函数y₂＝ $\text{[math]}$ 的图象交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点.分别求出y₁和y₂的解析式.

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3. (2022·怀宁模拟) 已知二次函数图象过点A(2，1)，B(4，1)且最大值为2，求二次函数的解析式．

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1. 如图，在△AOB中，AB＝OB ，点B在反比例函数的图象上，点A的坐标为（4，0），S_△_ABO＝4，求点B所在的反比例函数解析式．

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2. (2023·松原模拟) 如图，一次函数 $\text{[math]}$ 与反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象在第一象限交于 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求反比例函数和一次函数的解析式；
2. （2）连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积．
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3. 已知关于 $\text{[math]}$ 的二次函数 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ .
1. （1）该函数的图象与 $\text{[math]}$ 轴只有一个交点，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的关系.
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 随 $\text{[math]}$ 的增大而增大，求 $\text{[math]}$ 的取值范囲.
3. （3）若 $\text{[math]}$ ，该函数的象不经过第三累限，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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1. (2023·亳州模拟) 下列抛物线中，与抛物线 $\text{[math]}$ 具有相同对称轴的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2023·殷都模拟) 如图，二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与x轴的一个交点为 $\text{[math]}$ ，对称轴为直线 $\text{[math]}$ ，下列结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④当 $\text{[math]}$ 时，y随x的增大而减小；⑤关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两根分别是-1和3，其中正确的结论有（）

A . 2个 B . 3个 C . 4个 D . 5个

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3. (2020·广安模拟) 将抛物线y＝ (x－1)² +3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为

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1. (2022·彭山模拟) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为 $\text{[math]}$ .
1. （1）请直接写出A，B两点的坐标及直线l的函数表达式；
2. （2）若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为 $\text{[math]}$ ，过点P作 $\text{[math]}$ 轴，垂足为M.PM与直线l交于点N，当点N是线段PM的三等分点时，求点P的坐标；
3. （3）若点Q是y轴上的点，且 $\text{[math]}$ ，求点Q的坐标.
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2. (2021·新吴模拟) 在矩形 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，E为 $\text{[math]}$ 上一点，若 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 翻折，使点A落在 $\text{[math]}$ 边上点F处，折痕为 $\text{[math]}$ .
1. （1）如图1，求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）如图2，矩形 $\text{[math]}$ 的一边 $\text{[math]}$ 落在平面直角坐标系的x轴上， $\text{[math]}$ 轴，且点C坐标为 $\text{[math]}$ ，点P为平面内一点，若以O、B、F、P为顶点的四边形是菱形，请直接写出n的值；
3. （3）如图3，二次函数的图象经过A、F两点，其顶点为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求此二次函数的表达式.
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3. (2023九上·北京市期中) 在平面直角坐标系xOy中， $\text{[math]}$ 的半径为 $\text{[math]}$ ，对于平面内一点A ，若存在边长为1的等边 $\text{[math]}$ ，满足点B在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，则称点A为 $\text{[math]}$ 的“近心点”，点C为 $\text{[math]}$ 的“远心点”.
1. （1）下列各点： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 的“近心点”有；
2. （2）设点O与 $\text{[math]}$ 的“远心点”之间的距离为d ，求d的取值范围；
3. （3）直线 $\text{[math]}$ 分别交x ， y轴于点M ， N ，且线段MN上任意一点都是 $\text{[math]}$ 的“近心点”，请直接写出b的取值范围.
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1. (2021·玉林) 图（1），在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点P从点A出发，沿三角形的边以 $\text{[math]}$ /秒的速度逆时针运动一周，图（2）是点P运动时，线段 $\text{[math]}$ 的长度y（ $\text{[math]}$ ）随运动时间x（秒）变化的关系图象，则图（2）中P点的坐标是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2022·梧州) 在平面直角坐标系中，请写出直线 $\text{[math]}$ 上的一个点的坐标.

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3. (2021·淮安) 如图（1），△ABC和△A′B′C′是两个边长不相等的等边三角形，点B′、C′、B、C都在直线l上，△ABC固定不动，将△A′B′C′在直线l上自左向右平移.开始时，点C′与点B重合，当点B′移动到与点C重合时停止.设△A′B′C′移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，y与x之间的函数关系如图（2）所示，则△ABC的边长是.

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