北京市门头沟区2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷

更新时间：2023-02-28 浏览次数：65 类型：期末考试

一、单选题

1. 如果 $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ 的值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2019九下·温州竞赛) 已知⊙O的半径为4，点P在⊙O内，则OP的长可能是（）

A . 3 B . 4 C . 5 D . 6

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3. (2021·北京模拟) 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=3，BC=4，则sinA的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 如果将抛物线 $\text{[math]}$ 向上平移3个单位长度，得到新的抛物线的表达式是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相交于点O，且 $\text{[math]}$ ．如果 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ 的值是（）

A . 3 B . 4 C . 5 D . 6

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6. 如图，线段 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径，如果 $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ 的度数是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 二次函数 $\text{[math]}$ 的图象如图所示，那么下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 一元二次方程 $\text{[math]}$ 的近似解为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

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8. 下面的四个选项中都有两个变量，其中变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图像表示的是（）

A . 圆的面积y与它的半径x； B . 正方形的周长y与它的边长x； C . 用长度一定的铁丝围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x； D . 小明从家骑车去学校，路程一定时，匀速骑行中所用时间y与平均速度x；

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二、填空题

9. 如果 $\text{[math]}$ ，那么锐角 $\text{[math]}$ 度．

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10. 如果一个扇形的圆心角为 $\text{[math]}$ ，半径为2，那么该扇形的面积为（结果保留π）．

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11. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象经过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小关系是 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ （填“ $\text{[math]}$ ”，“ $\text{[math]}$ ”或“ $\text{[math]}$ ”）时．

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12. 如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D，E是网格线的交点，那么 $\text{[math]}$ 的面积与 $\text{[math]}$ 的面积的比是．

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13. 写出一个二次函数，其图像满足：①开口向下；②当 $\text{[math]}$ 时，y随x的增大而增大．这个二次函数的表达式可以是．

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14. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一百五十寸，立一标杆，长一十五寸，影长五寸，问竿长几何？”．其意思是：“如图，有一根竹竿 $\text{[math]}$ 不知道有多长，量出它在太阳下的影子 $\text{[math]}$ 长150寸，同时立一根15寸的小标杆 $\text{[math]}$ ，它的影子 $\text{[math]}$ 长5寸，则竹竿 $\text{[math]}$ 的长为多少？”．答：竹竿 $\text{[math]}$ 的长为寸．

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15. 石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图，已知某公园石拱桥的跨度 $\text{[math]}$ 米，拱高 $\text{[math]}$ 米，那么桥拱所在圆的半径 $\text{[math]}$ 米．

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16. 如图1，在等边 $\text{[math]}$ 中，D是 $\text{[math]}$ 中点，点P为 $\text{[math]}$ 边上一动点，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，如果y与x的函数关系的图象如图2所示，那么 $\text{[math]}$ ．

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17. 如图，在 $\text{[math]}$ 中，点D在 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ．请添加一个条件，使得 $\text{[math]}$ ，然后再加以证明．

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三、解答题

18. (2023九上·亳州期末) 计算： $\text{[math]}$ ．

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19. 下面是小李设计的“作圆的内接等边三角形”的尺规作图过程．
已知：如图1， $\text{[math]}$ ．
求作：等边 $\text{[math]}$ ，使得等边 $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ ．
作法：
①如图2，作半径 $\text{[math]}$ ；
②以M为圆心， $\text{[math]}$ 长为半径作弧，交 $\text{[math]}$ 于点A，B，连接 $\text{[math]}$ ；
③以B为圆心， $\text{[math]}$ 长为半径作弧，交 $\text{[math]}$ 于点C；
④连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ 就是所求作的等边三角形．
根据上述尺规作图的过程，回答以下问题：
1. （1）使用直尺和圆规，依作法补全图2（保留作图痕迹）；
2. （2）完成下面的证明．
  证明：连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
  由作图可知 $\text{[math]}$ ，
  ∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是等边三角形．
  ∴ $\text{[math]}$ ▲ $\text{[math]}$ ．
  ∴ $\text{[math]}$ ．
  ∵ $\text{[math]}$ ，
  ∴ $\text{[math]}$ ．（）（填推理的依据）
  ∵ $\text{[math]}$ ，
  ∴ $\text{[math]}$ 是等边三角形．
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20. 已知二次函数 $\text{[math]}$
1. （1）求此二次函数图象的顶点坐标；
2. （2）求此二次函数图象与x轴的交点坐标；
3. （3）当 $\text{[math]}$ 时，直接写出x的取值范围．
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21. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点D在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，过点B作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点E．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）如果 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．
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22. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数 $\text{[math]}$ 的图象与反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象的一个交点为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求反比例函数 $\text{[math]}$ 的解析式；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，对于x的每一个值，一次函数 $\text{[math]}$ 的值大于反比例函数 $\text{[math]}$ 的值，直接写出k的取值范围．
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23. 定都阁位于门头沟潭柘寺镇的定都峰上，与通州大运河遥相呼应，形成“东有大运河，西有定都阁”的一道新景观．为测得定都阁的高度，某校数学社团登上定都峰开展实践活动．他们利用无人机在点P处测得定都阁顶端A的俯角α为 $\text{[math]}$ ，定都阁底端B的俯角β为 $\text{[math]}$ ，此时无人机到地面的垂直距离 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 米，求定都阁的高 $\text{[math]}$ ．（结果保留根号）

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24. 某公园有一个小型喷泉，水柱从垂直于地面的喷水枪喷出，水柱落于地面的路径形状可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水柱距喷水枪的水平距离为（单x位：m），距地面的垂直高度为y（单位：m），现测得x与y的几组对应数据如下：
水平距离x/m
0
1
2
3
4
5
6
…
垂直高度y/m
0.7
1.6
2.3
2.8
3.1
3.2
3.1
…
请根据测得的数据，解决以下问题：
1. （1）在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，描出以表中各组对应数据为坐标的点，并画出该函数的图象；
2. （2）结合表中所给数据或所画图象，得出水柱最高点距离地面的垂直高度为m；
3. （3）求所画图象对应的二次函数表达式；
4. （4）公园准备在水柱下方的地面上竖直安装一根高 $\text{[math]}$ 的石柱，使该喷水枪喷出的水柱恰好经过石柱顶端，则石柱距喷水枪的水平距离为m．（注：不考虑石柱粗细等其他因素）
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25. 如图，在等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为直径作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点D，过点D作 $\text{[math]}$ ，垂足为E．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线；
2. （2）如果 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．
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26. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在抛物线 $\text{[math]}$ 上，其中 $\text{[math]}$ ，设抛物线的对称轴为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，如果 $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，总有 $\text{[math]}$ ，求t的取值范围．
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27. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点D在 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ，在直线 $\text{[math]}$ 右侧作 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F．
1. （1）如图1，当 $\text{[math]}$ 时，
  ①依题意补全图1，猜想 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并证明；
  ②用等式表示线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的数量关系，并证明．
2. （2）如图2，当 $\text{[math]}$ 时，直接用含m的等式表示线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的数量关系．
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28. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，对于点 $\text{[math]}$ ，给出如下定义：当点 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ 时，称点N是点M的等积点．已知点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中，点M的等积点是；
2. （2）如果点M的等积点N在双曲线 $\text{[math]}$ 上，求点N的坐标；
3. （3）已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的半径为1，连接 $\text{[math]}$ ，点A在线段 $\text{[math]}$ 上．如果在 $\text{[math]}$ 上存在点A的等积点，直接写出a的取值范围．
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