一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.
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1.
设全集
,集合M满足
,则( )
-
2.
已知
,且
,其中a,b为实数,则( )
-
A . -2
B . -1
C . 1
D . 2
-
4.
嫦娥二号卫星在完成探月任务后,继续进行深空探测,成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星,为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值,用到数列
:
,
,
,…,依此类推,其中
.则( )
-
5.
设F为抛物线
的焦点,点A在C上,点
,若
,则
( )
A . 2
B .
C . 3
D .
-
6.
执行下边的程序框图,输出的
( )
A . 3
B . 4
C . 5
D . 6
-
-
8.
已知等比数列
的前3项和为168,
,则
( )
A . 14
B . 12
C . 6
D . 3
-
9.
已知球O的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球O的球面上,则当该四棱锥的体积最大时,其高为( )
-
10.
某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘,各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为
,且
.记该棋手连胜两盘的概率为p,则( )
A . p与该棋手和甲、乙、丙的此赛次序无关
B . 该棋手在第二盘与甲比赛,p最大
C . 该棋手在第二盘与乙比赛,p最大
D . 该棋手在第二盘与丙比赛,p最大
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11.
双曲线C的两个焦点为
,以C的实轴为直径的圆记为D,过
作D的切线与C交于M,N两点,且
,则C的离心率为( )
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12.
已知函数
的定义域均为R,且
.若
的图像关于直线
对称,
,则
( )
A . -21
B . -22
C . -23
D . -24
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
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13.
从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作,则甲、乙都入选的概率为.
-
14.
过四点
中的三点的一个圆的方程为
.
-
15.
记函数
的最小正周期为T,若
,
为
的零点,则
的最小值为
.
-
16.
已知
和
分别是函数
(
且
)的极小值点和极大值点.若
,则a的取值范围是
.
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. <p align=left >(一)必考题:共60分.</p>
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(1)
证明:平面
平面
;
-
(2)
设
,点F在
上,当
的面积最小时,求
与平面
所成的角的正弦值.
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19.
某地经过多年的环境治理,已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量,随机选取了10棵这种树木,测量每棵树的根部横截面积(单位:
)和材积量(单位:
),得到如下数据:
样本号i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 总和 |
根部横截面积 | 0.04 | 0.06 | 0.04 | 0.08 | 0.08 | 0.05 | 0.05 | 0.07 | 0.07 | 0.06 | 0.6 |
材积量 | 0.25 | 0.40 | 0.22 | 0.54 | 0.51 | 0.34 | 0.36 | 0.46 | 0.42 | 0.40 | 3.9 |
并计算得 .
附:相关系数 .
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(1)
估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量;
-
(2)
求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01);
-
(3)
现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积,并得到所有这种树木的根部横截面积总和为
.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.
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20.
已知椭圆E的中心为坐标原点,对称轴为x轴、y轴,且过
两点.
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(2)
设过点
的直线交E于M,N两点,过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T,点H满足
.证明:直线HN过定点.
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21.
已知函数
.
-
-
(2)
若
在区间
各恰有一个零点,求a的取值范围.
四、选考题,共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
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22.
在直角坐标系
中,曲线C的参数方程为
(t为参数).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线l的极坐标方程为
.
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23.
已知a,b,c都是正数,且
,证明:
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(1)
;
-
(2)
.