【感知】如图1，已知四边形中，．求证：A、B、C、D四点在同一个圆上．聪明的李明同学在小卡片上给出了正确的解法：证明：连接，取的中点O，连结、， ∵ ， O是的中点，∴ ，， ∴ ，

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1. (2023·呈贡模拟) 【感知】如图1，已知四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．求证：A、B、C、D四点在同一个圆上．聪明的李明同学在小卡片上给出了正确的解法：

证明：连接 $\text{[math]}$ ，取 $\text{[math]}$ 的中点O，连结 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， ∵ $\text{[math]}$ ， O是 $\text{[math]}$ 的中点，∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， ∴ $\text{[math]}$ ，即A、B、C、D四点在以O为圆心的同一个圆上．

【拓展】如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点F是 $\text{[math]}$ 中点，点E是边 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 于点P．（注：下述证明过程中可直接使用李明的结论）
1. （1）如图2，当点P在线段 $\text{[math]}$ 上时，证明： $\text{[math]}$ ；
3. （2）如图3，过点P分别作 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的垂线，垂足分别为N、M．求 $\text{[math]}$ 的最小值．

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