如图，已知抛物线y=ax2+bx+1经过A（﹣1，0），B（1，1）两点．

1. (2017·永州) 如图，已知抛物线y=ax²+bx+1经过A（﹣1，0），B（1，1）两点．
1. （1）求该抛物线的解析式；
3. （2）阅读理解：
  在同一平面直角坐标系中，直线l₁：y=k₁x+b₁（k₁ ， b₁为常数，且k₁≠0），直线l₂：y=k₂x+b₂（k₂ ， b₂为常数，且k₂≠0），若l₁⊥l₂ ，则k₁•k₂=﹣1．
  解决问题：
  ①若直线y=3x﹣1与直线y=mx+2互相垂直，求m的值；
  ②抛物线上是否存在点P，使得△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
5. （3） M是抛物线上一动点，且在直线AB的上方（不与A，B重合），求点M到直线AB的距离的最大值．

能力提升真题演练换一批

1. (2023九上·福州模拟) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的正半轴交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，抛物线最低点的纵坐标为-4：当 $\text{[math]}$ 时，抛物线最低点的纵坐标为-3.
1. （1）求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的关系式（用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示 $\text{[math]}$ ）；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求抛物线的解析式；
3. （3）在（2）的条件下， $\text{[math]}$ 为抛物线对称轴上一点，过点 $\text{[math]}$ 的直线交抛物线于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴的垂线，交抛物线于点 $\text{[math]}$ ，探究是否存在定点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 总成立，若存在，求出点 $\text{[math]}$ 的坐标：若不存在，请说明理由.
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2. (2023·天河模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ 和函数 $\text{[math]}$ ，其中， $\text{[math]}$ 为常数，且 $\text{[math]}$ ，记函数 $\text{[math]}$ 的顶点为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，点 $\text{[math]}$ 恰好在函数 $\text{[math]}$ 的图像上，求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）随着 $\text{[math]}$ 的变化，点 $\text{[math]}$ 是否都在某一条抛物线上？如果是，求出该抛物线的解析式，如果不是，请说明理由；
3. （3）当 $\text{[math]}$ 时，总有 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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3. (2023·南京模拟) 二次函数 $\text{[math]}$ （a、b为常数，且 $\text{[math]}$ ）的图象经过点 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证：该函数的图象与x轴总有两个公共点；
2. （2）已知点 $\text{[math]}$ ，若该函数图象与线段 $\text{[math]}$ 恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出a的取值范围.
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1. (2021·湘西) 如图，已知抛物线 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ .
1. （1）求抛物线的解析式；
2. （2）连接 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 的解析式；
3. （3）请在抛物线的对称轴上找一点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 的值最小，求点 $\text{[math]}$ 的坐标，并求出此时 $\text{[math]}$ 的最小值；
4. （4）点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 $\text{[math]}$ ，使得以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由.
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2. (2022·攀枝花) 第24届冬奥会（也称2022年北京冬奥会）于2022年2月4日至2月20日在中国北京举行，北京成为了历史上第一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市.冬奥会上跳台滑雪是一项极为壮观的运动.运动员经过助滑、起跳、空中飞行和着陆，整个动作连贯一致，一气呵成，如图，某运动员穿着滑雪板，经过助滑后，从倾斜角 $\text{[math]}$ 的跳台A点以速度 $\text{[math]}$ 沿水平方向跳出，若忽略空气阻力影响，水平方向速度将保持不变.同时，由于受重力作用，运动员沿竖直方向会加速下落，因此，运动员在空中飞行的路线是抛物线的一部分，已知该运动员在B点着陆， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .忽略空气阻力，请回答下列问题：
1. （1）求该运动员从跳出到着陆垂直下降了多少m？
2. （2）以A为坐标原点建立直角坐标系，求该抛物线表达式；
3. （3）若该运动员在空中共飞行了4s，求他飞行2s后，垂直下降了多少m？
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3. (2022·武威) 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的动点（点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 不与点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 重合）.
1. （1）求此抛物线的表达式；
2. （2）连接 $\text{[math]}$ 并延长交抛物线于点 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 轴，且 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长；
3. （3）连接 $\text{[math]}$ .
  ①如图2，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 轴翻折得到 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 在抛物线上时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；
  
  ②如图3，连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的最小值.
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