如图，某数学兴趣小组为测量一颗古树BH和教学楼CG的高，先在A处用高1.5米的测角仪AF测得古树顶端H的仰角∠HFE为45°，此时教学楼顶端G恰好在视线FH上，再向前走10米到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角∠GED为60°，点A、B、C

1. (2020·温岭模拟) 如图，某数学兴趣小组为测量一颗古树BH和教学楼CG的高，先在A处用高1.5米的测角仪AF测得古树顶端H的仰角∠HFE为45°，此时教学楼顶端G恰好在视线FH上，再向前走10米到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角∠GED为60°，点A、B、C三点在同一水平线上.
1. （1）求古树BH的高；
3. （2）求教学楼CG的高.（参考数据： $\text{[math]}$ ＝1.4， $\text{[math]}$ ＝1.7）

能力提升真题演练换一批

1. (2022·隆阳模拟) 如图，在四边形ABCD的中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于点O，且AO＝CO，△OAB是等边三角形．
1. （1）求证：四边形ABCD是矩形；
2. （2）若S_四_边_形ABCD＝4 $\text{[math]}$ ，求BD的长．
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2. (2021·福建模拟) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为第三象限抛物线上的一点，过 $\text{[math]}$ 点作直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交抛物线于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点（点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的左侧）， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于 $\text{[math]}$ 点，连接 $\text{[math]}$ .
1. （1）当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点在 $\text{[math]}$ 轴上，且 $\text{[math]}$ 为等腰直角三角形时，求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ 点， $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 时，设直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于 $\text{[math]}$ 点，求证： $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点；
3. （3）若 $\text{[math]}$ 的内心在直线 $\text{[math]}$ 上，设 $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ 点且垂直于 $\text{[math]}$ 轴，直线 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，记 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的交点为 $\text{[math]}$ ，求证 $\text{[math]}$ 点在一条新抛物线上，并求这条抛物线的解析式.
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3. (2023·东营) 如图，抛物线过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，矩形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上，设 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线的函数表达式；
2. （2）当t为何值时，矩形 $\text{[math]}$ 的周长有最大值？最大值是多少？
3. （3）保持 $\text{[math]}$ 时的矩形 $\text{[math]}$ 不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线 $\text{[math]}$ 平分矩形 $\text{[math]}$ 的面积时，求抛物线平移的距离．
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1. (2021·邵阳) 如图，在 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 为斜边 $\text{[math]}$ 上一动点，将 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 折叠，使得点 $\text{[math]}$ 的对应点为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）如图①，若 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ .
2. （2）如图②，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.
3. （3）如图③，若 $\text{[math]}$ ，是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ .若存在，求此时 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由.
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2. (2021·青海) 如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的对角线．
1. （1）尺规作图（请用2B铅笔）：作线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （保留作图痕迹，不写作法）．
2. （2）试判断四边形 $\text{[math]}$ 的形状并说明理由．
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3. (2021·呼和浩特) 已知 $\text{[math]}$ 是⊙O的任意一条直径，
1. （1）用图1，求证：⊙O是以直径 $\text{[math]}$ 所在直线为对称轴的轴对称图形；
2. （2）已知⊙O的面积为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与⊙O相切于点C ，过点B作 $\text{[math]}$ ，垂足为D ，如图2，求证：
  ① $\text{[math]}$ ；
  
  ②改变图2中切点C的位置，使得线段 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．
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