如图，AB为⊙O直径，C是⊙O上一点，CO⊥AB于点O，弦CD与AB交于点F，过点D作∠CDE，使∠CDE=∠DFE，交AB的延长线于点E．过点A作⊙O的切线交ED的延长线于点G．

1. (2016九下·澧县开学考) 如图，AB为⊙O直径，C是⊙O上一点，CO⊥AB于点O，弦CD与AB交于点F，过点D作∠CDE，使∠CDE=∠DFE，交AB的延长线于点E．过点A作⊙O的切线交ED的延长线于点G．
1. （1）求证：GE是⊙O的切线；
3. （2）若OF：OB=1：3，求AG的长．

能力提升真题演练换一批

1. (2024九下·黄冈开学考) 如图，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴、 $\text{[math]}$ 轴分别交于点 $\text{[math]}$ 、点 $\text{[math]}$ ，经过 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点的抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的另一个交点为 $\text{[math]}$ ，顶点为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）在该抛物线的对称轴上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．
3. （3）将该抛物线在 $\text{[math]}$ 轴上方的部分沿 $\text{[math]}$ 轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象 $\text{[math]}$ 轴下方的部分组成一个“ $\text{[math]}$ ”形状的新图象，若直线 $\text{[math]}$ 与该“ $\text{[math]}$ ”形状的图象部分恰好有三个公共点，求 $\text{[math]}$ 的值．
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2. (2022九下·德阳月考)
1. （1）计算： $\text{[math]}$ ；
2. （2）已知 $\text{[math]}$ ，试求代数式 $\text{[math]}$ 的值.
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3. (2023九下·浙江月考) 如图1，已知 $\text{[math]}$ 外一点 $\text{[math]}$ 向 $\text{[math]}$ 作切线 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为切点，连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，分别交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ∽ $\text{[math]}$ ；
2. （2）如图2，当 $\text{[math]}$ 时，
  ①求 $\text{[math]}$ 的度数；
  ②连接 $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 的对称点为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 请直接写出 $\text{[math]}$ 的值.
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1. (2021·北京) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，一次函数 $\text{[math]}$ 的图象由函数 $\text{[math]}$ 的图象向下平移1个单位长度得到．
1. （1）求这个一次函数的解析式；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，对于 $\text{[math]}$ 的每一个值，函数 $\text{[math]}$ 的值大于一次函数 $\text{[math]}$ 的值，直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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2. (2021·潍坊) 如图1，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1，D为△ABC内部的一动点（不在边上），连接BD ，将线段BD绕点D逆时针旋转60°，使点B到达点F的位置；将线段AB绕点B顺时针旋转60°，使点A到达点E的位置，连接AD ， CD ， AE ， AF ， BF ， EF ．
1. （1）求证：△BDA≌△BFE；
2. （2） ①CD+DF+FE的最小值为 ▲ ；
  ②当CD+DF+FE取得最小值时，求证：AD∥BF ．
3. （3）如图2，M ， N ， P分别是DF ， AF ， AE的中点，连接MP ， NP ，在点D运动的过程中，请判断∠MPN的大小是否为定值．若是，求出其度数；若不是，请说明理由．
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3. (2022·长春) 如图①、图②、图③均是 $\text{[math]}$ 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点， $\text{[math]}$ 的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
1. （1）网格中 $\text{[math]}$ 的形状是；
2. （2）在图①中确定一点D，连结 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 全等：
3. （3）在图②中 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 上确定一点E，连结 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ：
4. （4）在图③中 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，且相似比为1：2．
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