如图，抛物线的顶点为，与轴的交点为和将抛物线绕点逆时针方向旋转，点，为点，旋转后的对应点，旋转后的抛物线与轴相交于，．

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1. (2023九上·开福月考) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点为 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴的交点为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 将抛物线 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针方向旋转 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 旋转后的对应点，旋转后的抛物线与 $\text{[math]}$ 轴相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）若原抛物线过点 $\text{[math]}$ ，求抛物线 $\text{[math]}$ 的解析式；
3. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 关于点 $\text{[math]}$ 成中心对称，求直线 $\text{[math]}$ 的解析式；
5. （3）在 $\text{[math]}$ 的条件下，若点 $\text{[math]}$ 是原抛物线上的一动点，点 $\text{[math]}$ 是旋转后的图形的对称轴上一点， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点，是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为顶点的四边形是平行四边形；若存在请求出点 $\text{[math]}$ 坐标，若不存在，请说明理由．

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