如图1，在边长为1的正方形中，平分，交于点E ，过点E作于点F ，延长交的延长线于点H ，过点F作交于点G ，连接．

1. (2023八下·怀化期末) 如图1，在边长为1的正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点E ，过点E作 $\text{[math]}$ 于点F ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点H ，过点F作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点G ，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
3. （2）求证：四边形 $\text{[math]}$ 是菱形；
5. （3）如图2，点M是 $\text{[math]}$ 的中点，点P是 $\text{[math]}$ 上的动点，点N是对角线 $\text{[math]}$ 上的动点，请问 $\text{[math]}$ 是否有最小值？如果有，求出最小值；如果没有，请说明理由．