如图，在正方形中，M是边上的一点，连接，作于点M，交正方形的外角的平分线于点N

1. (2023八下·增城期中) 如图 $\text{[math]}$ ，在正方形 $\text{[math]}$ 中，M是 $\text{[math]}$ 边上的一点，连接 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 于点M，交正方形 $\text{[math]}$ 的外角 $\text{[math]}$ 的平分线于点N
1. （1）若正方形 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ ，当M是 $\text{[math]}$ 边上的中点时，求 $\text{[math]}$ 的长；
3. （2）求证： $\text{[math]}$ ；
5. （3）如图2，连接 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 边于点F，连接 $\text{[math]}$ ，探究线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并说明理由．