如图，在矩形中，，， P为边上一点，连接，过点P作交于点Q，连接，当平分时：

1. (2021·三亚模拟) 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， P为边 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，过点P作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点Q，连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 时：
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
3. （2）求四边形 $\text{[math]}$ 的面积；
5. （3） M为直线 $\text{[math]}$ 或直线 $\text{[math]}$ 上一点，在平面内是否存在点N，使以P，C，M，N为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出 $\text{[math]}$ 的长度：若不存在，请说明理由.