阅读与思考下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． ×年×月×日星期日没有直角尺也能作出直角今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线

1. (2020·山西) 阅读与思考
下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．

×年×月×日星期日

没有直角尺也能作出直角

今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线 $\text{[math]}$ ，现根据木板的情况，要过 $\text{[math]}$ 上的一点 $\text{[math]}$ ，作出 $\text{[math]}$ 的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？

办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在 $\text{[math]}$ 上量出 $\text{[math]}$ ，然后分别以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为圆心，以 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 为半径画圆弧，两弧相交于点 $\text{[math]}$ ，作直线 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 必为 $\text{[math]}$ ．

办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，然后把木棒斜放在木板上，使点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合，用铅笔在木板上将点 $\text{[math]}$ 对应的位置标记为点 $\text{[math]}$ ，保持点 $\text{[math]}$ 不动，将木棒绕点 $\text{[math]}$ 旋转，使点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 上，在木板上将点 $\text{[math]}$ 对应的位置标记为点 $\text{[math]}$ ．然后将 $\text{[math]}$ 延长，在延长线上截取线段 $\text{[math]}$ ，得到点 $\text{[math]}$ ，作直线 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？

……

任务：
1. （1）填空；“办法一”依据的一个数学定理是；
3. （2）根据“办法二”的操作过程，证明 $\text{[math]}$ ；
5. （3） ①尺规作图：请在图③的木板上，过点 $\text{[math]}$ 作出 $\text{[math]}$ 的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法）；
  ②说明你的作法依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）

能力提升真题演练换一批

1. (2022·集贤模拟) 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A（5，2），B（5，5），C（1，1）均在格点上．
⑴将△ABC向下平移5个单位长度得到△A₁B₁C₁ ，画出△A₁B₁C₁；
⑵画出△A₁B₁C₁绕点C₁逆时针旋转90°后得到的△A₂B₂C₁；
⑶在（2）的条件下，求△A₁B₁C₁扫过的面积．

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2. (2023·鹿城模拟) 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，请按要求画图.
1. （1）在图1中画出一个格点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的长度都是无理数.
2. （2）在图2中画出一个格点四边形 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，且四边形的面积为5.
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3. (2023·宁江模拟) 如图，图①、图②均是 $\text{[math]}$ 的正方形网格，每个小正方形的边长均为 $\text{[math]}$ ，每个小正方形的顶点称为格点，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 均为格点只用无刻度的直尺，按下列要求作图：
1. （1）在图①中，作 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 边上的高；
2. （2）在图②中，过点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ ，使得直线 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 的面积．
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1. (2021·广安) 下图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点为格点，线段 $\text{[math]}$ 的端点都在格点上.要求以 $\text{[math]}$ 为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上.请在下面的网格图中画出4种不同的设计图形.

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2. (2021·陕西) 如图，已知直线 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 分别与 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ .请用尺规作图法，在线段 $\text{[math]}$ 上求作点 $\text{[math]}$ ，使点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的距离相等.（保留作图痕迹，不写作法）

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3. (2022·哈尔滨) 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1， $\text{[math]}$ 的顶点和线段 $\text{[math]}$ 的端点均在小正方形的顶点上．
⑴在方格纸中面出 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 对称（点D在小正方形的顶点上）；
⑵在方格纸中画出以线段 $\text{[math]}$ 为一边的平行四边形 $\text{[math]}$ （点G，点H均在小正方形的顶点上），且平行四边形 $\text{[math]}$ 的面积为4．连接 $\text{[math]}$ ，请直接写出线段 $\text{[math]}$ 的长．

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