正方形内“奇妙点”及性质探究
定义:如图1,在正方形 中,以 为直径作半圆 ,以 为圆心, 为半径作 ,与半圆 交于点 .我们称点 为正方形 的一个“奇妙点”.过奇妙点的多条线段与正方形 无论是位置关系还是数量关系,都具有不少优美的性质值得探究.
性质探究:如图2,连接 并延长交 于点 ,则 为半圆 的切线.
证明:连接 .
由作图可知, ,
又 .
,∴ 是半圆 的切线.
问题解决:
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(1)
如图3,在图2的基础上,连接
.请判断
和
的数量关系,并说明理由;
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(2)
在(1)的条件下,请直接写出线段
之间的数量关系;
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(3)
如图4,已知点
为正方形
的一个“奇妙点”,点
为
的中点,连接
并延长交
于点
,连接
并延长交
于点
,请写出
和
的数量关系,并说明理由;
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(4)
如图5,已知点
为正方形
的四个“奇妙点”.连接
,恰好得到一个特殊的“赵爽弦图”.请根据图形,探究并直接写出一个不全等的几何图形面积之间的数量关系.
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