如图，已知抛物线的图像经过点，且它的顶点的横坐标为-1，设抛物线与轴交于两点.

1. (2019九上·长白期中) 如图，已知抛物线 $\text{[math]}$ 的图像经过点 $\text{[math]}$ ，且它的顶点 $\text{[math]}$ 的横坐标为-1，设抛物线与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 两点.
1. （1）求抛物线的解析式；
3. （2）求 $\text{[math]}$ 两点的坐标；
5. （3）设 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 点，连接 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积.

能力提升真题演练换一批

1. (2021九上·上高月考) 课题学习：我们知道二次函数的图象是抛物线，它也可以这样定义：如果一个动点M（x，y）到定点A（0，m）（m＞0）的距离与它到定直线y=﹣m的距离相等，那么动点M形成的图形就是抛物线y=ax²（a＞0）的图象，如图所示．
1. （1）探究：当x≠0时，a与m有何数量关系？
2. （2）应用：已知动点M（x，y）到定点A（0，4）的距离与到定直线y=﹣4的距离相等，请写出动点M形成的抛物线的解析式．
3. （3）拓展：若点D的坐标是（1，8），在（2）中求得的抛物线上是否存在点P，使得PA+PD最短？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
4. （4）根据抛物线的平移变换，抛物线y= $\text{[math]}$ （x﹣1）²+2的图象，可以看作到定点A的距离与它到定直线y=-m的距离相等的动点M（x，y）所形成的图形．请直接写出定点A的坐标和m的值．
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2. (2023九上·南京开学考) 如图，一次函数 $\text{[math]}$ 的图象与反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，且一次函数 $\text{[math]}$ 的图象交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求一次函数和反比例函数的解析式；
2. （2）在第四象限的反比例图象上有一点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，请求出点 $\text{[math]}$ 的坐标．
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3. (2021九上·青县月考) 如图，已知抛物线 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的对称轴为直线 $\text{[math]}$ ，且抛物线与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 点，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）若直线 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，求直线 $\text{[math]}$ 和抛物的解析式；
2. （2）在抛物线的对称轴 $\text{[math]}$ 上找一点 $\text{[math]}$ ，使点 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ 的距离与到点 $\text{[math]}$ 的距离之和最小，求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；
3. （3）点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一动点，过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴垂线交抛物线于点 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 在第二象限），求线段 $\text{[math]}$ 长度最大值．
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1. (2022·鄂尔多斯) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+bx+2经过A（ $\text{[math]}$ ， 0），B（3， $\text{[math]}$ ）两点，与y轴交于点C．
1. （1）求抛物线的解析式；
2. （2）点P在抛物线上，过P作PD⊥x轴，交直线BC于点D，若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；
3. （3）抛物线上是否存在点Q，使∠QCB＝45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
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2. (2021·沈阳) 如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，与x轴交于点A，与y轴交于点B．线段 $\text{[math]}$ 平行于x轴，交直线 $\text{[math]}$ 于点D，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）填空： $\text{[math]}$ ．点A的坐标是（，）；
2. （2）求证：四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形；
3. （3）动点P从点O出发，沿对角线 $\text{[math]}$ 以每秒1个单位长度的速度向点D运动，直到点D为止；动点Q同时从点D出发，沿对角线 $\text{[math]}$ 以每秒1个单位长度的速度向点O运动，直到点O为止．设两个点的运动时间均为t秒．
  ①当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的面积是 ▲ ．
  ②当点P，Q运动至四边形 $\text{[math]}$ 为矩形时，请直接写出此时t的值．
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3. (2022·江西) 如图，点 $\text{[math]}$ 在反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象上，点B在y轴上， $\text{[math]}$ ，将线段 $\text{[math]}$ 向右下方平移，得到线段 $\text{[math]}$ ，此时点C落在反比例函数的图象上，点D落在x轴正半轴上，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）点B的坐标为，点D的坐标为，点C的坐标为（用含m的式子表示）；
2. （2）求k的值和直线 $\text{[math]}$ 的表达式．
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